Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.14. Правило Лопиталя 65
4) существует предел lim
x→a
f
′
(x)
g
′
(x)
= k,
то существует и предел lim
x→a
f(x)
g(x)
, также равный k.
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
′
(x)
g
′
(x)
= k.
Доказательство. Положим f(a) = g(a) = 0, тогда функции f
и g непрерывны на [a, x], a < x < b и удовлетворяют на [a, x] усло-
виям теоремы 5 (Коши). Поэтому
f(x)
g(x)
=
f(x) − f(a)
g(x) − g(a)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
, где
a < c < x. Так как при x → a и c → a, то теорема доказана.
Теорема 1 верна и при x → ∞. Чтобы убедиться в этом, доста-
точно сделать замену y =
1
x
, x =
1
y
.
Теорема 2 (Лопиталя). Если
1) функции f(x) и g(x) определены на (a, b);
2) lim
x→b
f(x) = ∞, lim
x→b
g(x) = ∞;
3) всюду на (a, b) существуют производные f
′
(x) и g
′
(x), причём
g
′
(x) 6= 0;
4) существует предел lim
x→b
f
′
(x)
g
′
(x)
= k,
то существует и предел lim
x→b
f(x)
g(x)
, тоже равный k.
Доказательство теоремы опустим.
При раскрытии неопределённостей иногда теоремы 1 и 2 при-
ходится применять несколько раз, так как предел lim
x→b
f
′
(x)
g
′
(x)
опять
может привести к неопределённости.
Рассмотрим кратко другие неопределённости. Пусть требуется
найти lim
x→x
0
f(x) · g(x), если lim
x→x
0
f(x) = 0, lim
x→x
0
g(x) = ∞. Возни-
кает неопределённость 0 · ∞. Можем записать f(x)g(x) =
f(x)
1
g(x)
, и
мы придём к неопределённости вида
0
0
.
Если нужно найти предел lim
x→x
0
(f(x) − g(x)) и lim
x→x
0
f(x) = ∞,
lim
x→x
0
g(x) = ∞, то, записав f(x) − g(x) =
1
g(x)
−
1
f(x)
1
f(x)g(x)
, получим
неопределённость
0
0
.

Страницы