Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.13. Основные теоремы дифференциального исчисления 63
Доказательство. Функция F (x) = f(x) −
f(b) − f(a)
b − a
(x −a) удо-
влетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому существует та-
кая точка c, a < c < b, что F
′
(c) = f
′
(c) −
f(b) − f(a)
b − a
= 0. Отсюда и
следует (2.29).
Если положить x = a, b = x + ∆x, то формулу (2.29) можно
записать в виде
f(x + ∆x) − f (x) = f
′
(c)∆x —
формула Лагранжа о конечных приращениях. Так как точка c лежит
между x и x + ∆x, то можно положить c = x + Θ∆x, где 0 ≤ Θ ≤ 1.
Теорема 5 (Коши). Если 1) функции f(x) и g(x) определены и
непрерывны на [a, b]; 2) существуют конечные производные f
′
(x) и
g
′
(x) на (a, b); 3) g
′
(x) 6= 0 для всех x ∈ (a, b), то сущ ествует точка
c ∈ (a, b) такая, что
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
. (2.30)
Доказательство. Из теоремы Ролля и условия 3 данной теоремы
следует, что g(b) 6= g(a). Формулу (2.30) можно получить применени-
ем теоремы Ролля к функции F (x) = f (x) −
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
(g(x)−g(a)).
Необходимым условием дифференцируемости функции является
существование производной матрицы. Остановимся теперь на доста-
точных условиях дифференцируемости.
Теорема 6. Если функция f : X ⊆ R → Y ⊆ R имеет в точке
x
0
конечную производную f
′
(x
0
), то функция f дифференцируема в
этой точке.
По определению производной f
′
(x
0
) = lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
,
поэтому величина β(x
0
, ∆x) =
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
−f
′
(x
0
) является
бесконечно малой, следовательно, величина β(x
0
, ∆x)∆x имеет по-
рядок малости выше, чем ∆x. Находим
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) = ∆f = f
′
(x
0
)∆x + β(x
0
, ∆x)∆x,
т.е. функция f(x) дифференцируема в точке x
0
.
Для функц ий двух и более аргументов существования производ-
ной матрицы в точке недостаточно для дифференцируемости функ-
ции. Для них спр аведлива следующая теорема.
Теорема 7. Если функция f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R имеет в точке ξ
0
конечную производн ую и эта производная непрерывна в точке ξ
0
, то
функция f дифференцируема в этой точке.

Страницы