Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.12. Формула Тейлора 61
В этом случае остаточный член R
n+1
(x, x
0
) может быть найден
по формуле R
n+1
=
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
, где c — некоторая точ-
ка, лежащая между x и x
0
. Такую форму записи остаточного члена
называют формой Лагранжа. При x
0
= 0 формула Тейлора носит
название формулы Маклорена.
Для скалярной функции двух переменных формула (2.28) имеет
вид
f(x, y) = f(x
0
, y
0
) +
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y −y
0
)+
+
1
2!
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)
2
+ 2 ·
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)(y −y
0
)+
+
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)(y −y
0
)
2
+ . . . +
1
n!
∂
∂x
(x − x
0
) +
∂
∂y
(y −y
0
)
n
×
×f(x
0
, y
0
) + R
n+1
(x, y, x
0
, y
0
).
Важнейшими разложениями по формуле Маклорена являются:
e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+ . . . +
x
n
n!
+ R
n+1
;
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
+ . . . +
(−1)
n−1
(2n − 1)!
x
2n−1
+ R
2n
(x);
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ . . . +
(−1)
n
(2n)!
x
2n
+ R
2n+1
(x);
ln (1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ . . . +
(−1)
n−1
n
x
n
+ R
n+1
(x);
(1 + x)
α
= 1 +
n
X
k=1
α(α − 1) · . . . · (α − k + 1)
k!
x
k
+ R
n+1
(x).
Эти разложения легко получить, используя соответствующие
производные n-го порядка. (e
x
)
(n)
= e
x
, (sin x)
(n)
= sin
x + n
π
2
,
(cos x)
(n)
= cos (x + n
π
2
), [ln (1 + x)]
(n)
= (−1)
n
(n − 1)!
(1 + x)
n
, (x
α
)
(n)
=
= α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)x
α−n
.
Формула Тейлора широко применяется в приближенных вычис-
лениях.

Страницы