Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.11. Дифференциалы высших порядков 59
Получим формулы для вычисления дифференциалов высших по-
рядков.
Случай 1. f : X ⊆ R → Y ⊆ R — функция одной перемен-
ной, тогда d
2
f = d(df) = d(f
′
)dx + f
′
d(dx) = (f
′′
xx
dx)dx + f
′
x
d
2
x =
= f
′′
xx
(dx)
2
+ f
′
x
d
2
x.
Возможны два варианта:
а) x — независимая переменная, тогда dx не зависит от x, поэтому
d
2
x = d(dx) = 0 и, следовательно,
d
2
f = f
′′
(dx)
2
,
···············
d
n
f = f
(n)
(dx)
n
;
(2.25)
б) x — есть функция независимой переменной t : x = x(t), тогда
d
2
x = x
′′
tt
(dt)
2
и, следовательно,
d
2
f = f
′′
(dx)
2
+ f
′
x
′′
tt
(dt)
2
= f
′′
xx
(x
′
t
dt)
2
+ f
′
x
x
′′
tt
(dt)
2
. (2.26)
Сравнивая выражения (2.25) и (2.26) для d
2
f, заключаем, что
второй дифференциал не обладает свойством инвариантности фор-
мы записи.
Случай 2. f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R — скалярная функция многих
переменных f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Тогда
d
2
f = d(df ) = d
∂f
∂x
1
dx
1
+
∂f
∂x
2
dx
2
+ · +
∂f
∂x
n
dx
n
=
= d
n
X
i=1
∂f
∂x
i
dx
i
!
=
n
X
i=1
d
∂f
∂x
i
dx
i
+
n
X
i=1
∂f
∂x
i
d(dx
i
) =
=
n
X
i=1
n
X
j=1
∂
∂x
j
∂f
∂x
i
dx
j
dx
i
+
n
X
i=1
∂f
∂x
i
d
2
x
i
, т.е.
d
2
f =
n
X
i=1
n
X
j=1
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
dx
j
dx
i
+
n
X
i=1
∂f
∂x
i
d
2
x
i
.
Если x
i
— независимые переменные, то d
2
x
i
= 0 и
d
2
f =
n
X
i=1
n
X
j=1
∂
2
f
∂x
j
∂x
i
dx
j
dx
i
. (2.27)
Видим, что d
2
f является квадратичной формой относительно
dx
1
, dx
2
, . . . , dx
n
. В частности, для функции двух независимых пе-
ременных f(x, y): d
2
f =
∂
2
f
(∂x)
2
(dx)
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
dxdy +
∂
2
f
(∂y)
2
(dy)
2
.

Страницы