Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.10. Дифференциал функции 57
результатом действия линейного оператора с матрицей f
′
(x) на век-
тор ∆x. Если f
′
(x) 6= 0, то дифференциал можно определить как
линейную составляющую приращения функции, вызванного прира-
щением аргумента ∆x.
При этом будем считать, что приращение ∆x не зависит от x, т. е.
в рассматриваемом процессе ∆x полагать константой относительно
x. Положим dx = ∆x. Тогда
df(x) = df(x, dx) = f
′
(x)dx. (2.24)
Рассмотрим (2.24) для функций разного числа переменных.
Случай 1. f : X ⊆ R → Y ⊆ R — скалярная функция одного ска-
лярного аргумента. В этом случае f
′
(x) состоит из одного элемента
и совпадает с производной f
′
(x) и df(x) = f
′
(x)dx.
Случай 2. f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R — скалярная функция векторно-
го аргумента f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Теперь f
′
(x) =
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
,
dx = ∆x = (dx
1
, dx
2
, . . . , dx
n
)
T
и, следовательно,
df =
∂f
∂x
1
dx
1
+
∂f
∂x
2
dx
2
+ ··· +
∂f
∂x
n
dx
n
.
Случай 3. f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R
m
— векторная функция вектор-
ного аргумента. f =
f
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
f
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
···············
f
m
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
.
В этом случае
df =
df
1
df
2
.
.
.
df
m
=
∂f
1
∂x
1
dx
1
+
∂f
1
∂x
2
dx
2
+ ··· +
∂f
1
∂x
n
dx
n
∂f
2
∂x
1
dx
1
+
∂f
2
∂x
2
dx
2
+ ··· +
∂f
2
∂x
n
dx
n
·································
∂f
m
∂x
1
dx
1
+
∂f
m
∂x
2
dx
2
+ · +
∂f
m
∂x
n
dx
n
.
Случай 4. f : X ⊆ R → Y ⊆ R
m
— векторная функция скалярно-
го аргумента.
f =
f
1
(x)
f
2
(x)
.
.
.
f
m
(x)
, df =
f
′
1
(x)dx
f
′
2
(x)dx
.
.
.
f
′
m
(x)dx
.

Страницы