Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 55 стр.

UptoLike

2.9. Уравнение касательной к кривой 55
t = t
0
, x
0
= x(t
0
), y
0
= y(t
0
), y
x
(t
0
) =
y
t
(t
0
)
x
t
(t
0
)
. Поэтому уравнение ка-
сательной можно записать в виде y y
0
=
y
t
(t
0
)
x
t
(t
0
)
(x x
0
), или
y y
0
y
t
(t
0
)
=
x x
0
x
t
(t
0
)
.
В случае пространственной кривой, заданной параметрически
(
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t),
t (t
1
, t
2
), (2.22)
уравнение касательной при t = t
0
можно записать в виде
x x
0
x
t
(t
0
)
=
y y
0
y
t
(t
0
)
=
z z
0
z
t
(t
0
)
.
Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точ-
ку касания, называется нормалью к кривой.
При задании кривой неявно уравнением F (x, y) = 0 уравнение
нормали в точке (x
0
, y
0
) можно записать в виде
x x
0
F
x
(x
0
, y
0
)
=
y y
0
F
y
(x
0
, y
0
)
.
Пусть теперь уравнение F (x, y, z) = 0 определяет неявно функ-
цию z = z(x, y), графиком которой является некоторая поверхность
S, и M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) фиксированная точка поверхности S, т.е.
F (x
0
, y
0
, z
0
) = 0.
Плоскость Π, проходящая через точку M
0
и содержащая каса-
тельные ко всем кривым, проходящим через M
0
и лежащим на по-
верхности S, если она существует, называется касательной плоско-
стью к поверхности S в точке M
0
.
Если кривая L задана параметрически уравнениями (2.22) и ле-
жит на поверхности F (x, y, z) = 0, то имеем относительно t тож-
дество F (x(t), y(t), z(t)) 0. Дифференцируя это тождество по t
предположении, что x(t), y(t), z(t), F (x, y, z) дифференцируемые
функции), по формуле (2.10) получаем
F
x
dx
dt
+
F
y
dy
dt
+
F
z
dz
dt
= 0. (2.23)
Обозначим N =
F
x
,
F
y
,
F
z
, r =
dx
dt
,
dy
dt
,
dz
dt
. Тогда (2.23)
можно переписать в виде равенства (N, r) = 0, которое означает,
что вектор N ортогонален направляющему вектору r касательной к
любой дифференцируемой кривой L, лежащей на поверхности S и