Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.8. Геометрический и механический смысл производной 53
2.8. Геометрический и механический смысл
производной
Пусть функция f : X ⊆ R → Y ⊆ R дифференцируема. Постро-
им её график (рис. 2.3) и проведём секущую, соединяющую точки
M
0
(x, f(x)) и M(x + ∆x, f(x + ∆x)). Предельное положение секущей
M
0
M, когда точка M
Рис. 2.3.
стремится к точке M
0
по
кривой, называется каса-
тельной к кривой в точ-
ке M
0
. Тангенс угла ϕ на-
клона секущей к оси OX
(рис. 2.3) р авен
tg ϕ =
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
.
Если устремим ∆x → 0,
то секущая займёт поло-
жение касательной к гра-
фику функции f в точ-
ке x. Н о
tg ϕ
0
= lim
∆x→0
tg ϕ = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
= f
′
(x).
Таким образом, геометрический смысл производной функции f
в точке x заключается в том, что f
′
(x) равна тангенсу угла наклона
к оси OX касательной к графику функции в точке x.
Если в каждой точке графика функции провести касательную,
то эта касательная при перемещении точки касания по кривой будет
вращаться. Введём понятие средней кривизны кривой на участке
M
0
M, как отношение угла ω между касательными в точках M
0
и M
к длине дуги σ участка кривой M
0
M.
Кривизной графика функции в точке M
0
называют число k, опре-
деляемое равенством k = lim
σ →0
ω
σ
. Если график функции f (x) задан
параметрически в виде
x = x(t),
y = y(t),
то можно доказать, что
k =
x
′
t
y
′′
tt
− y
′
t
x
′′
tt
[(x
′
t
)
2
+ (y
′
t
)
2
]
3/2
. (2.20)
При явном задании функции в виде y = f(x) формула (2.20) прини-
мает вид
k =
f
′′
xx
[1 + (f
′
x
)
2
]
3/2
.

Страницы