Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.7. Функции, заданные неявно, и их дифференцирование 51
и y
′
x
= ψ
′
t
·t
′
x
=
y
′
t
x
′
t
. Таким образом, производная функции, заданной
параметрически, находится по формуле
y
′
x
=
dy
dx
=
y
′
t
x
′
t
,
x = x(t).
(2.15)
Для отыскания второй производной y
′′
xx
воспользуемся соотноше-
ниями (2.15) ещё раз
y
′′
xx
=
y
′
t
x
′
t
′
t
1
x
′
t
,
x = x(t).
Вычислив производную
дроби
y
′
t
x
′
t
′
t
, получим
y
′′
xx
=
y
′′
tt
x
′
t
− x
′′
tt
y
′
t
(x
′
t
)
3
,
x = x(t).
Аналогично могут быть получены выражения для третьей, чет-
вёртой и последующих производных функции, заданной параметри-
чески.
Пример. Найти y
′′
xx
, если
x =
1
9
cos
3
t,
y =
1
3
sin
3
t.
Решение.
y
′
x
=
3 sin
2
t cos t
−cos
2
t sin t
= −3 tg t,
x =
1
9
cos
3
t.
y
′′
xx
=
−3
1
cos
2
t
· 3
−cos
2
t sin t
=
9
cos
4
t sin t
,
x =
1
9
cos
3
t.
2.7. Функции, заданные неявно,
и их дифференцирование
Соответствие между x и y может быть задано с помощью урав-
нения
F (x, y) = 0 (2.16)
следующим образом: с каждым значением x = x
0
сопоставляется то
значение y
0
, которое получается решением уравнения F (x
0
, y) = 0,
т.е. то, которое обращает уравнение F(x
0
, y) = 0 в тождество. Та-
ким образом, с помощью соотношения (2.16) можно задать функцию
y(x) такую, что F (x, y(x)) ≡ 0. Говорят, что функция y(x) задана
неявно с помощью уравнения (2.16). В тех случаях, когда уравне-
ние F (x, y) = 0 удаётся разрешить относительно y, мы найдём явное
задание функции.

Страницы