Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.5. Производные высших порядков 49
Поэтому можно говорить о частных производных от них. Их назы-
вают частными производными второго порядка и обозначают
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(i, j = 1, 2, . . . n).
Можем получить следующие частные производные
∂
2
f
∂x
2
1
=
∂
∂x
1
∂f
∂x
1
,
∂
2
f
∂x
2
2
=
∂
∂x
2
∂f
∂x
2
,. . . ,
∂
2
f
∂x
2
n
=
∂
∂x
n
∂f
∂x
n
,
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
=
∂
∂x
1
∂f
∂x
2
,. . . ,
∂
2
f
∂x
n−1
∂x
n
=
∂
∂x
n−1
∂f
∂x
n
.
Аналогично вводятся частные производные третьего порядка
∂
3
f
∂x
3
1
=
∂
∂x
1
∂
2
f
∂x
2
1
,
∂
3
f
∂x
2
1
∂x
2
=
∂
∂x
1
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
и т.д.,
и более высоких порядков.
Частные производные, в которые входит дифференцирование по
различным переменным, называются смешанными, например,
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
,
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
,
∂
3
f
∂
2
x
1
∂x
2
,
∂
3
f
∂x
2
, ∂x
1
, ∂x
3
, . . .
Теорема. Смешанные частные производные любого порядка, от-
личающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывные в
окрестности некоторой точки, равны в этой точке между собой.
Пример 4. Найти
∂
2
f
∂x
2
,
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
2
f
∂y
2
, если f(x, y, z) = x
y z
.
Решение.
∂f
∂x
= yzx
y z−1
,
∂
2
f
∂x
2
= yz(yz − 1)x
y z−2
,
∂f
∂y
= zx
y z
ln x,
∂
2
f
∂y
2
= z
2
x
y z
ln
2
x,
∂
2
f
∂x∂y
= x
y z−1
z(1 + yz ln x).
∂
2
f
∂z
2
,
∂
2
f
∂x∂z
,
∂
2
f
∂y∂z
найдите самостоятельно.
Рассмотрим более подробно частные производные высших поряд-
ков от сложной функции для функций двух переменных.
Пусть f(x, y), x = x(t), y = y(t) — дифференцируемые функции.
Тогда по формуле (2.10) имеем
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
.

Страницы