Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

50 2. Дифференциальное исчисление
Считая, что функции
∂f
∂x
,
dx
dt
,
∂f
∂y
,
dy
dt
также дифференцируемы,
находим
d
2
f
dt
2
=
∂
∂t
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂x
d
2
x
dt
2
+
∂
∂t
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂y
d
2
y
dt
2
=
∂
2
f
∂x
2
dx
dt
+
+
∂
2
f
∂y∂x
dy
dt
dx
dt
+
∂f
∂x
d
2
x
dt
2
+
∂
2
f
∂x∂y
dx
dt
+
∂
2
f
∂y
2
dy
dt
dy
dt
+
∂f
∂y
d
2
y
dt
2
=
=
∂
2
f
∂x
2
dx
dt
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
dx
dy
dy
dt
+
∂
2
f
∂y
2
dy
dt
2
+
∂f
∂x
d
2
x
dt
2
+
∂f
∂y
d
2
y
dt
2
.
Мы здесь предположили, что
∂
2
f
∂x∂y
=
∂
2
f
∂y∂x
.
Пусть теперь имеем сложную функцию
f(x, y) = f[x(u, v), y(u, v)].
Считая функции f (x, y), x(u, v), y(u, v) дифференцируемыми, по
формуле (2.11) можно найти
∂f
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
,
∂f
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
.
Легко получить, что
∂
2
f
∂u
2
=
∂
2
f
∂x
2
∂x
∂u
2
+2
∂
2
f
∂x∂y
∂x
∂u
∂y
∂u
+
∂
2
f
∂y
2
∂y
∂u
2
+
∂f
∂x
∂
2
x
∂u
2
+
∂f
∂y
∂
2
y
∂u
2
.
Частные производные
∂
2
f
∂v
2
,
∂
2
f
∂u∂v
предлагаем записать самосто-
ятельно в качестве упражнения.
2.6. Функции, заданные параметрически,
и их дифференцирование
Определить функцию y = f (x) можно с помощью соотношений
x = ϕ(t),
y = ψ(t),
t ∈ T. (2.14)
При этом сопоставляются друг с другом те значения x и y, которые
получаются из соотношения (2.14) при одном и том же значении
аргумента t. Говорят, что возникающая при этом функция y = y(x)
задана параметрически с помощью соотношений (2.14).
Пусть функции ϕ(t) и ψ(t) достаточное число раз дифференци-
руемы и ϕ
′
(t) 6= 0. Пр едположим, что удалось найти обратную к
ϕ(t) функцию x
−1
= t(x). Тогда y(x) = ψ[t(x)] — сложная функция

Страницы