Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48 2. Дифференциальное исчисление
2.5. Производные высших порядков
Вначале рассмотрим скалярную функцию одной переменной
f : X ⊆ R → Y ⊆ R. Пусть для всякого x из X существует производ-
ная f
′
(x) функции f(x). Производная f
′
(x) является новой функцией
от x. Поэтому можно говорить о производной от f
′
(x). Определим
вторую производную f
′′
(x) как производную от первой производной,
т.е. f
′′
(x) = [f
′
(x)]
′
. Аналогично
f
′′′
(x) = [f
′′
(x)]
′
,. . . , f
(n)
(x) = [f
(n−1)
(x)]
′
.
Пример 1. Найти f
(n)
(x), если f(x) = e
ax+b
.
f
′
(x) = ae
ax+b
, f
′′
(x) = a
2
e
ax+b
, . . . , f
(n)
(x) = a
n
e
ax+b
.
Пример 2. f(x) = sin x. Найти f
(n)
(x).
f
′
(x) = cos x = sin
x +
π
2
,
f
′′
(x) = cos
x +
π
2
= sin
x + 2
π
2
,. . . , f
(n)
(x) = sin
x + n
π
2
,
Пример 3. Докажите, что
1
x − 1
(n)
=
(−1)
n
n!
(x − 1)
(n+1)
.
Для отыскания производных высших порядков от произведения
двух функций иногда полезна формула Лейбница. Пусть функции
U(x) и V (x) имеют производные до порядка n включительно. Тогда
[U(x) · V (x)]
(n)
=
n
X
k=0
C
k
n
V
(k)
(x)U
(n−k)
(x), где C
0
n
= 1,
C
k
n
=
n(n − 1)(n −2) ·. . . · [n − (k −1)]
k!
— число сочетаний из n по k.
Для вектор-функции одного аргумента полагаем:
f
1
(x)
f
2
(x)
.
.
.
f
k
(x)
(n)
=
f
(n)
1
(x)
f
(n)
2
(x)
.
.
.
f
(n)
k
(x)
.
Рассмотрим скалярную функцию векторного аргумента
f = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
Мы ввели уже частные производные
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . .
∂f
∂x
n
. Эти
частные производные сами являются функциями от (x
1
, x
2
, . . . , x
n
).

Страницы