Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

46 2. Дифференциальное исчисление
C =(f ◦ Φ)
′
(x)=
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
=
= A · B =
∂f
∂y
1
,
∂f
∂y
2
, . . . ,
∂f
∂y
k
·
∂y
1
∂x
1
∂y
1
∂x
2
. . . . . .
∂y
1
∂x
n
∂y
2
∂x
1
∂y
2
∂x
2
. . . . . .
∂y
2
∂x
n
··· ··· ··· ··· ···
∂y
k
∂x
1
∂y
k
∂x
2
. . . . . .
∂y
k
∂x
n
.
Перемножая матрицы, получаем
∂f
∂x
1
=
∂f
∂y
1
∂y
1
∂x
1
+
∂f
∂y
2
∂y
2
∂x
1
+ ··· +
∂f
∂y
k
∂y
k
∂x
1
,
∂f
∂x
2
=
∂f
∂y
1
∂y
1
∂x
2
+
∂f
∂y
2
∂y
2
∂x
2
+ ··· +
∂f
∂y
k
∂y
k
∂x
2
,
··········································
∂f
∂x
n
=
∂f
∂y
1
∂y
1
∂x
n
+
∂f
∂y
2
∂y
2
∂x
n
+ ··· +
∂f
∂y
k
∂y
k
∂x
n
.
(2.11)
Пример. Дана функция z = f(u, v), u = x
2
y, v = y
2
x.
Найти
∂z
∂x
и
∂z
∂y
.
По формуле (2.11) получаем:
∂z
∂x
=
∂f
∂u
2xy +
∂f
∂v
y
2
,
∂z
∂y
=
∂f
∂u
x
2
+
∂f
∂v
2yx.
2.4. Производная по направлению
Пусть даны f(M) = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) — скалярная функция век-
торного аргумента и некоторый ненулевой вектор a. Зафиксируем
некоторую точку M
0
. Предел
lim
M→M
0
f(M) − f(M
0
)
±|M
0
M|
, (M
0
Mka),
если он существует и конечен, называется производной от функции
f(M) в направлении вектора a в точке M
0
и обозначается
∂f
∂a
, при
этом выбираем знак “+”, если M
0
M ↑↑ a, знак “−”, если M
0
M ↑↓ a.
Найдём выражение для
∂f
∂a
, ограничиваясь случаем n = 3,
f(M) = f(x, y, z). Вектор a запишем в виде: a = |a|a
0
, где
a
0
= (cos α, cos β, cos γ) — орт вектора a, cos α, cos β, cos γ — его
направляющие косинусы. Пусть точка M
0
имеет координаты

Страницы