Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Некоторые свойства производных 45
(см. случаи 2 и 3, рассмотренные в разделе 2.3).
C = (f ◦ Φ)
′
(x) =
df
dx
= A ·B =
∂f
∂y
1
,
∂f
∂y
2
, . . . ,
∂f
∂y
k
·
dy
1
dx
dy
2
dx
.
.
.
dy
k
dx
=
=
∂f
∂y
1
dy
1
dx
+
∂f
∂y
2
dy
2
dx
+ ··· +
∂f
∂y
k
dy
k
dx
.
Мы получили формулу
df
dx
=
∂f
∂y
1
dy
1
dx
+
∂f
∂y
2
dy
2
dx
+ ··· +
∂f
∂y
k
dy
k
dx
, (2.10)
где f = f[y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
k
(x)].
Пример. Для функции f(y
1
, y
2
)
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z~
-
x ⊆ R
n
Φ
y ⊆ R
k
f ◦ Φ f
z ⊆ R
?
Рис. 2.2.
найти
df
dt
, если y
1
= sin t, y
2
= cos t.
По формуле (2.10) находим
df
dt
=
∂f
∂y
1
cos t −
∂f
∂y
2
sin t.
Случай 3. Пусть n и k про-
извольны, m = 1. Для суперпози-
ции отображений, приведённой на
рис. 2.2, имеем f(y
1
, y
2
, . . . , y
k
) —
скалярная функция k переменных.
Φ(x) = [y
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), y
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), . . . , y
k
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)]
T
—
вектор-функция векторного аргумента.
(f ◦ Φ)(x) =
= f[y
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), y
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), . . . , y
k
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)] —
скалярная функция векторного аргумента. В рассматриваемом слу-
чае A = f
′
(y
1
, y
2
, . . . , y
k
) =
∂f
∂y
1
,
∂f
∂y
2
, . . . ,
∂f
∂y
k
,
B = Φ
′
(x) =
∂y
1
∂x
1
∂y
1
∂x
2
. . . . . .
∂y
1
∂x
n
∂y
2
∂x
1
∂y
2
∂x
2
. . . . . .
∂y
2
∂x
n
··· ··· ··· ··· ···
∂y
k
∂x
1
∂y
k
∂x
2
. . . . . .
∂y
k
∂x
n
.
(См. случаи 2 и 4 в разделе 2.3.)

Страницы