Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Некоторые свойства производных 43
Докажем, например, второе соотношение.
(u · v)
′
= lim
∆x→0
(u + ∆u)(v + ∆v) − uv
∆x
= lim
∆x→0
v∆u + u∆v + ∆u∆v
∆x
=
= lim
∆x→0
v
∆u
∆x
+ u
∆v
∆x
+ ∆u
∆v
∆x
= u
′
v + v
′
u.
Первое и третье соотношения предлагается доказать самостоя-
тельно.
Применяя третье соотношение, находим
(tg x)
′
=
sin x
cos x
′
=
cos
2
x + sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
, (ctg x)
′
= −
1
sin
2
x
.
Очевидно, что (c)
′
= 0, где c = const.
Из второго соотношения теоремы 1 следует, что (cu)
′
= cu
′
.
Теорема 2. (Производная от обратной функции.) Пусть X ⊆ R
n
,
Y ⊆ R
n
, f : X → Y и f
−1
: Y → X обратное к f отображение. Если
функция f дифференцируема в точке x
0
и существует (f
′
(x
0
))
−1
,
то функция f
−1
дифференцируема в точке y
0
= f (x
0
) и имеет место
формула
[f
−1
(y
0
)]
′
= [f
′
(x
0
)]
−1
. (2.7)
Теорему примем без доказательства.
В случае n = 1, т.е. для скалярной функции одного скалярного
аргумента формула (2.7) принимает вид
[f
−1
(y
0
)]
′
=
1
f
′
(x
0
)
. (2.8)
Применяя формулу (2.8), найдём
(arctg x)
′
=
1
(tg y)
′
y
= cos
2
y =
1
1 + tg
2
y
=
1
1 + x
2
,
так как, если y = arctg x, то x = tg y;
(arcctg x)
′
=
1
(ctg y)
′
y
= −sin
2
y = −
1
1 + ctg
2
y
= −
1
1 + x
2
;
(arcsin x)
′
=
1
(sin y)
′
y
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
=
1
√
1 − x
2
;
(arccos x)
′
=
1
(cos y)
′
y
= −
1
sin y
= −
1
p
1 − cos
2
y
= −
1
√
1 − x
2
.
Перед корнем
√
1 − x
2
в последних двух соотношениях поставлен
знак “+”, так как cos y > 0 при −
π
2
< y <
π
2
, sin y > 0 при 0 < y < π.
Теорема 3. (Производная от композиции отображений.) Если
Φ : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R
k
, f : Y ⊆ R
k
→ Z ⊆ R
m
и функция Φ диффе-
ренцируема в точке x, а функция f дифференцируема в точке Φ(x),

Страницы