Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42 2. Дифференциальное исчисление
Случай 3. Пусть n = 1, а k произвольно, т.е. f : X ⊆ R → Y ⊆R
k
.
Имеем вектор-функцию скалярного аргумента
f(x) =
f
1
(x)
f
2
(x)
.
.
.
f
k
(x)
.
Матрица линейного оператора A : R → R
k
состоит из одного столб-
ца. Можно доказать, что в этом случае
f
′
(x) =
f
1
(x)
f
2
(x)
.
.
.
f
k
(x)
′
=
f
′
1
(x)
f
′
2
(x)
.
.
.
f
′
k
(x)
.
Строгое обоснование опустим.
Вектор-функцию одного скалярного аргумента со значениями
в R
3
можно задать в виде r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Тогда r
′
(t) =
= x
′
(t)i + y
′
(t)j + z
′
(t)k.
Случай 4. Пусть n и k произвольны, т.е. f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R
k
.
Из рассмотренных случаев 2 и 3 следует, что
f
′
(x) =
f
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
f
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
···············
f
k
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
′
=
∂f
1
∂x
1
∂f
1
∂x
2
. . . . . .
∂f
1
∂x
n
∂f
2
∂x
1
∂f
2
∂x
2
. . . . . .
∂f
2
∂x
n
··· ··· ··· ··· ···
∂f
k
∂x
1
∂f
k
∂x
2
. . . . . .
∂f
k
∂x
n
.
2.3. Некоторые свойства производных
В этом разделе будем рассматривать скалярные функции скаляр-
ного аргумента и предполагать их дифференцируемыми, а потому
непрерывными.
Теорема 1. Если функции u и v имеют конечные производные, то
и функции u + v, u ·v и
u
v
также имеют конечные производные и при
этом:
1) (u + v)
′
= u
′
+ v
′
, 2) (u ·v)
′
= u
′
v + v
′
u,
3)
u
v
′
=
u
′
v − v
′
u
v
2
, v 6= 0.

Страницы