Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40 2. Дифференциальное исчисление
Таким образом, для скалярной функции одной переменной про-
изводная матрица состоит из одного элемента и равна пределу отно-
шения приращения функции к приращению аргумента.
Таблица производных:
1) (c)
′
= 0, c = const; 2) (x
α
)
′
= αx
α−1
;
3) (log
a
x)
′
=
1
x ln a
=
log
a
e
x
; (ln x)
′
=
1
x
;
4) (a
x
)
′
= a
x
ln a; (e
x
)
′
= e
x
;
5) (sin x)
′
= cos x; 6) (cos x)
′
= −sin x;
7) (tg x)
′
=
1
cos
2
x
; 8) (ctg x)
′
= −
1
sin
2
x
;
9) (sh x)
′
= ch x; 10) (ch x)
′
= sh x;
11) (th x)
′
=
1
ch
2
x
; 12) (cth x)
′
= −
1
sh
2
x
;
13) (arctg x)
′
=
1
1 + x
2
; 14) (arcctg x)
′
= −
1
1 + x
2
;
15) (arcsin x)
′
=
1
√
1 − x
2
; 16) (arccos x)
′
= −
1
√
1 − x
2
.
Проверим справедливость первых пяти формул.
(x
α
)
′
= lim
∆x→0
(x + ∆x)
α
− x
α
∆x
= lim
∆x→0
x
α

1 +
∆x
x
α
− 1
∆x
=
= lim
∆x→0
x
α−1

1 +
∆x
x
α
− 1
∆x
x
= αx
α−1
(использовано третье след-
ствие из второго замечательного предела).
(log
a
x)
′
= lim
∆x→0
log
a
(x + ∆x) − log
a
x
∆x
= lim
∆x→0
log
a
1 +
∆x
x
∆x
x
x
=
=
log
a
e
x
=
1
x ln a
использовано следствие из второго замечательно-
го предела lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e
.
(a
x
)
′
= lim
∆x→0
a
x+∆x
− a
x
∆x
= lim
∆x→0
a
x
(a
∆x
− 1)
∆x
= a
x
ln a (использо-
ван предел lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a).

Страницы