Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Строение производной матрицы 39
Как следует из (2.4), производная матрица определяет линейный
оператор, а дифференциал является значением этого линейного опе-
ратора в точке ∆x = (∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
).
Рассмотрим пример. Дана функция f(x) = x
2
: R → R. Пока-
жем, что эта функция дифференцируема в любой точке x = x
0
.
Действительно, ∆f = (x
0
+∆x)
2
−x
0
2
= x
0
2
+2x
0
∆x+ (∆x)
2
−x
0
2
=
= 2x
0
· ∆x + (∆x)
2
. Сравнивая соотношение ∆f = 2x
0
· ∆x + (∆x)
2
с равенством (2.4), видим, что в нашем случае A∆f = 2x
0
· ∆x,
α(∆x) = (∆x)
2
, причём порядок малости α(∆x) выше, чем ∆x. От-
сюда следует, что функция f(x) = x
2
дифференцируема в точке x
0
и A = f
′
(x
0
) = 2x
0
, df = 2x
0
· ∆x.
Теорема 1. Всякая дифференцируемая в точке x
0
функция непре-
рывна в этой точке.
Действительно, из равенства (4.3) следует, что если ∆x → 0, то
и ∆f → 0, а это и означает непрерывность функции f. Обратное
утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции не следует её
дифференцируемость. Например, функция y = |x| н епрерывна в точ-
ке x
0
= 0, но не дифференцируема в этой точке.
2.2. Строение производной матрицы
Приступаем к нахождению элементов функциональной матри-
цы f
′
(x
0
) для произвольной дифференцируемой функции f. Про-
цесс отыскания производной матрицы называют дифференцирова-
нием функции.
Рассмотрим четыре возможных случая.
Случай 1. Пусть n = 1, k = 1, т.е. имеем отображение
f : X ⊆ R → Y ⊆ R. Матрица f
′
(x
0
) имеет размер (1 × 1) и состоит
из одного элемента b. Поэтому
f(x) −f(x
0
) = b · (x −x
0
) + α(x −x
0
).
Разделим последнее равенство на x − x
0
и перейдём к преде-
лу при x → x
0
. Получим lim
x→x
0
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
= b + lim
x→x
0
α(x − x
0
)
(x − x
0
)
.
Так как функция f предполагается дифференцируемой, то
lim
x→x
0
α(x − x
0
)
(x − x
0
)
= 0, и мы получаем
b = f
′
(x
0
) = lim
x→x
0
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
∆f(x
0
)
∆x
. (2.5)
Число, определяемое пределом в выражении (2.5), называется про-
изводной функции одной переменной в точке x
0
. Эта производная
была изучена в средней школе.

Страницы