Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Строение производной матрицы 41
(sin x)
′
= lim
∆x→0
sin(x + ∆x) − sin x
∆x
= lim
∆x→0
2 cos
x +
∆x
2
sin
∆x
2
∆x
=
= lim
∆x→0
cos
x +
∆x
2
sin
∆x
2
∆x
2
= cos x.
Аналогично можно показать, что (cos x)
′
= −sin x.
Случай 2. Пусть n произвольно, а k = 1, т.е. имеем
f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R — скалярную функцию n переменных,
f(x) = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Матрица оператора A : R
n
→ R состоит из
одной строки. Поэтому f
′
(x) = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
). Найдём координату
a
1
вектора f
′
(x). Положим ∆x
1
6= 0, ∆x
2
= ∆x
3
= . . . = ∆x
n
= 0.
Тогда соотношение (2.4) в п. 2.1 можно записать в виде:
f(x
1
+ ∆x
1
, x
2
, . . . , x
n
) − f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
= a
1
∆x
1
+ a
2
· 0 + ··· + a
n
· 0 + α(∆x
1
).
Разделив на ∆x
1
обе части этого равенства, перейдём к пределу при
∆x
1
→ 0 (учтём при этом, что lim
∆x
1
→0
α(∆x
1
)
∆x
1
= 0), получим
a
1
= lim
∆x
1
→0
f(x
1
+ ∆x
1
, x
2
, . . . , x
n
) − f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
∆x
1
. (2.6)
Предел (2.6) называется частной производной функции
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) по переменной x
1
и обозначается
∂f
∂x
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
Как видим, чтобы найти частную производную
∂f
∂x
1
, нужно за-
фиксировать все переменные, кроме первой, и взять производную
по первой переменной. Аналогично рассуждая, можно най-
ти a
2
=
∂f
∂x
2
, . . ., a
n
=
∂f
∂x
n
. Матрица f
′
(x) принимает вид
f
′
(x) =
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
.
Например, найдём производную матрицу для функции
f(x, y) = xy
2
− y
3
. Находим
∂f
∂x
= y
2
,
∂f
∂y
= 2xy − 3y
2
. Поэто-
му f
′
(x, y) = [y
2
, 2xy −3y
2
].

Страницы