Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2. Дифференциальное исчисление
Самыми простыми и наиболее полно изученными в математи-
ке отображениями являются линейные. Возникает идея приближён-
ной замены произвольного отображения линейным, хотя бы вбли-
зи некоторой точки (линеаризация отображения). Выяснением для
какого класса отображений возможна линеаризация и изучением
строения полученных при этом линейных операторов занимаются
в части математического анализа, называемой дифференциальным
исчислением.
2.1. Дифференцируемые отображения
Определение 1. Пусть X ⊂ R
n
— открытое множество и
f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R
k
. Функция f называется дифференцируемой в
точке x = x
0
∈ X, если существует линейный оператор A : R
n
→ R
k
такой, что приращение f (x) − f(x
0
) функции f можно представить
в виде
f(x) −f(x
0
) = A(x − x
0
) + α(x − x
0
) (2.1)
для всех x из X, где вектор-функция α(x − x
0
) является беско-
нечно малой более высокого порядка малости, чем |(x − x
0
)|, т.е.
lim
x→x
0
|α(x − x
0
)|
|x − x
0
|
= 0. Если приращение аргумента x − x
0
обозначим
∆x, а приращение ф ункции ∆f = f(x) − f(x
0
), то выражение (2.1)
можно переписать в виде
∆f(x
0
) = A(∆x) + α(∆x). (2.2)
Так как A : R
n
→ R
k
— линейный оператор, то существует матрица
A размера (k × n) такая, что A(∆x) = A · ∆x. Теперь (2.2) можно
записать в виде
∆f(x
0
) = A(x
0
)∆x + α(x
0
, ∆x). (2.3)
В соотношении (2.3) подчёркнуто, что матрица A зависит от выбора
точки x
0
.
Определение 2. Матрица A в соотношении
∆f(x
0
) = A(x
0
)∆x + α(x
0
, ∆x)
называется производной или матрицей Якоби и обозначается f
′
(x
0
),
∇f(x
0
),
df(x
0
)
dx
. Слагаемое A(x
0
)∆x обозначается df и называется
дифференциалом функции f в точке x
0
.
Теперь равенство (2.3) можно переписать в виде
или
∆f(x
0
) = f
′
(x
0
)∆x + α(x
0
, ∆x)
∆f(x
0
) = df(x
0
) + α(x
0
, ∆x).
(2.4)

Страницы