Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36 1. Введение в математический анализ
Действительно, если в сумме α
1
(x) + α
2
(x) + . . . + α
n
(x) беско-
нечно малых в точке x
0
бесконечно малая α
1
(x) имеет наименьший
порядок малости по сравнению со всеми другими слагаемыми, то
lim
x→x
0
α
1
(x)+α
2
(x)+. . .+α
n
(x)
α
1
(x)
= lim
x→x
0
1+
α
2
(x)
α
1
(x)
+. . .+
α
n
(x)
α
1
(x)
=1,
т.е. α
1
(x) + α
2
(x) + . . . + α
n
(x) ∼ α
1
(x).
При изучении замечательных пределов мы показали, что
sin x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, e
x
− 1 ∼ x,
(1 − x)
µ
− 1
µx
∼ x при x → 0.
Свойство 5. Если α(x) ∼ α
1
(x), β(x) ∼ β
1
(x) при x = x
0
и суще-
ствует lim
x→0
α
1
(x)
β
1
(x)
, равный A, то и lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= A.
Доказательство.
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α(x)
α
1
(x)
·
α
1
(x)
β
1
(x)
·
β
1
(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α(x)
α
1
(x)
· lim
x→x
0
α
1
(x)
β
1
(x)
×
× lim
x→x
0
β
1
(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
1
(x)
β
1
(x)
, так как lim
x→x
0
α(x)
α
1
(x)
= lim
x→x
0
β
1
(x)
β(x)
= 1,
поскольку α(x) ∼ α
1
(x), β(x) ∼ β
1
(x).
Последнее свойство часто используется при отыскании преде-
лов отношений. Например, lim
x→0
e
x
2
− 1
1 − cos x
= lim
x→0
x
2
1
2
x
2
= 2, так как
e
x
2
− 1 ∼ x
2
, 1 − cos x ∼
1
2
x
2
при x → 0.
На основании первого замечательного предела и следствий из
второго можем составить следующую таблицу эквивалентных беско-
нечно малых. Через α(x) обозначена бесконечно малая при x → x
0
или x → ∞, ±∞:
1) sin α(x) ∼ α(x); 2) tg α(x) ∼ α(x);
3) arcsin α(x) ∼ α(x); 4) arctg α(x) ∼ α(x);
5) log
a
(1 + α(x)) ∼ (log
a
e)α(x); 6) ln[1 + α(x)] ∼ α(x);
7) a
α(x)
− 1 ∼ α(x) ln a, a > 0, a 6= 1;
8) e
α(x)
− 1 ∼ α(x); 9) [1 + α(x)]
µ
− 1 ∼ µα(x);
10)
n
p
1 + α(x) − 1 ∼
α(x)
n
; 11) 1 − cos α(x) ∼
1
2
α
2
(x).
Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции легко
обобщается на случай векторных функци й векторного или скалярно-
го аргумента, а именно, функция α(x) : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R
k
называ-
ется бесконечно малой при x = x
0
, если все её координатные функ-

Страницы