Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 35
Таким образом, порядок малости k = 2, а главной частью является
величина γ(x) =
1
2
x
2
.
Пример 2. Докажите самостоятельно, что бесконечно малая
α(x) = e
sin x
− 1 относительно бесконечно малой β(x) = x имеет пер-
вый порядок малости.
Совершенно аналогично производят сравнение бесконечно боль-
ших функций u(x) и v(x) при x = x
0
, исходя из предела
lim
x→x
0
u(x)
v(x)
= C.
Предлагается соответствующие определения сформулировать са-
мостоятельно.
1.8.3. Свойства эквивалентных бесконечно малых
функций
Свойство 1. Если α(x) ∼ β(x) при x = x
0
, то и β(x) ∼ α(x).
Действительно, если lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= 1, то и lim
x→x
0
β(x)
α(x)
= 1.
Свойство 2. Если α(x) ∼ β(x), а β(x) ∼ γ(x), то α(x) ∼ γ(x).
Доказательство. Можем записать lim
x→x
0
α(x)
γ(x)
=
= lim
x→x
0
α(x)
β(x)
·
β(x)
γ(x)
= lim
x→x
0
α(x)
β(x)
· lim
x→x
0
β(x)
γ(x)
= 1, т.е. α(x) ∼ γ(x).
Свойство 3. Бесконечно малые α(x) и β(x) эквивалентны тогда
и только тогда, когда их разность α(x) − β(x) имеет более высокий
порядок малости, чем каждая из них.
Доказательство. Пусть α(x) ∼ β(x) при x = x
0
. Тогда
lim
x→x
0
α(x) − β(x)
α(x)
= lim
x→x
0
1 −
β(x)
α(x)
= 1 − lim
x→x
0
β(x)
α(x)
= 1 − 1 = 0,
т.е. α(x) − β(x) = o(α(x)).
Если α(x)−β(x) = o(α(x)), то lim
x→x
0
α(x) − β(x)
α(x)
= 0. Можем запи-
сать 0 = lim
x→x
0
α(x) − β(x)
α(x)
= lim
x→x
0
1 −
β(x)
α(x)
. Отсюда следует, что
lim
x→x
0
β(x)
α(x)
= 1, т.е. α(x) ∼ β(x).
Свойство 4. Сумма конечного числа бесконечно малых при
x = x
0
эквивалентна слагаемому, имеющему наименьший порядок
малости относительно всех других слагаемых.

Страницы