ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34 1. Введение в математический анализ
Теорема 3. Если α(x) бесконечно малая функция в точке x
0
, то
функция β(x) =
1
α(x)
бесконечно большая в x
0
, и наоборот, если
β(x) — бесконечно большая в точке x
0
, то α(x) =
1
β(x)
— бесконечно
малая в точке x
0
.
Теорему предлагается доказать самостоятельно.
1.8.2. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций
Определение 1. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) при
x = x
0
называются сравнимыми, если существует хотя бы один из
пределов lim
x→x
0
α(x)
β(x)
, lim
x→x
0
β(x)
α(x)
.
Определение 2. Пусть α(x) и β(x) — сравнимые бесконечно малые
при x = x
0
и lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= C. Если C 6= 0, C 6= ∞, то бесконечно ма-
лые функции α(x) и β(x) при x = x
0
называются бесконечно малыми
одного порядка малости.
Если C = 0, то говорят, что бесконечно малая α(x) при x =
= x
0
имеет более высокий порядок малости, чем β(x), и пишут
α(x) = o(β(x)).
Если C = ∞, то бесконечно малая β(x) имеет более высокий
порядок малости, чем α(x).
Если C = 1, то бесконечно малые α(x) и β(x) называются экви-
валентными бесконечно малыми при x = x
0
. Пишут в этом случае
α(x) ∼ β(x).
Определение 3. Говорят, что бесконечно малая функция α(x)
имеет порядок малости k относительно бесконечно малой β(x) при
x = x
0
, если lim
x→x
0
α(x)
[β(x)]
k
= C, C 6= 0, c 6= ∞.
При этом бесконечно малую C[β(x)]
k
, эквивалентную α(x), назы-
вают главной частью бесконечно малой α(x).
Обычно в роли эталонной бесконечно малой в точке x
0
принима-
ют функцию β(x) = x − x
0
.
Пример 1. Найти порядок малости бесконечно малой функции
α(x) = 1 − cos x относительно бесконечно малой β(x) = x при x = 0.
Имеем lim
x→0
1 − cos x
x
k
= lim
x→0
2 sin
2
x
2
x
k
=
0 при k < 2,
1
2
при k = 2,
∞ при k > 2.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
