Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32 1. Введение в математический анализ
Доказательство.
1. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
log
a
(1 + x)
1
x
= log
a
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= log
a
e.
Перестановка предела и логарифма справедлива в силу непрерывно-
сти логарифмической функции.
2. Положим a
x
−1 = y, x = log
a
(1+y). Так как при x → 0 и y → 0,
то lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
y →0
y
log
a
(1 + y)
= lim
y →0
1
log
a
(1 + y)
y
=
1
log
a
e
= ln a.
3. Положим y = (1 + x)
µ
− 1. Заметим, что если x → 0, то y → 0.
Очевидно соотношение µ ln(1 + x) = ln(1 + y). Поэтому
(1 + x)
µ
− 1
x
=
y
x
=
y
ln(1 + y)
·
µ ln(1 + x)
x
.
Переходя к пределу в этом равенстве при x → 0, получаем, что
lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ.
Пример 2. Найти lim
x→2
ln x − ln 2
x − 2
.
Решение.
lim
x→2
ln x − ln 2
x − 2
= lim
x→2
ln
x
2
x − 2
= lim
x→2
ln
h
1 +
x
2
− 1
i
x − 2
=
= lim
x→2
ln
1 +
x − 2
2
x − 2
. Обозначим y = x − 2. Тогда
lim
x→2
ln x − ln 2
x − 2
= lim
y →0
ln
1 +
y
2
y
= lim
y →0
ln
1 +
y
2
y
2
· 2
=
1
2
.
Пример 3. lim
x→0
e
4x
− e
x
e
tg x
− 1
= lim
x→0
e
x
(e
3x
− 1)
e
tg x
− 1
tg x
tg x · 3x
· 3x=
= lim
x→0
e
3x
− 1
3x
·
e
x
e
tg x
− 1
tg x
·
3
tg x
x
= 3, так как lim
x→0
e
tg x
− 1
tg x
= 1,
lim
x→0
tg x
x
= 1, lim
x→0
e
3x
− 1
3x
= 1, lim
x→0
e
x
= 1.

Страницы