Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.7. Замечательные пределы 31
Сравнивая (1.14) и (1.15), видим, что x
n
< x
n+1
, т.е. последова-
тельность {x
n
} монотонно возрастает.
Так как
1
k!
<
1
2
k−1
при k > 2, то
x
n
< 2 +
1
2
+
1
2
2
+ · +
1
2
n−1
= 2 +
1
2
−
1
2
n−1
·
1
2
1 −
1
2
= 3 −
1
2
n−1
,
т.е. x
n
< 3. Таким образом, последовательность {x
n
} монотонно воз-
растает и ограничена сверху. По теореме 2 из подраздела 1.5.2, она
имеет предел. Этот предел обозначим e. Число e трансцендентно,
причём 2 < e < 3 (e ≈ 2,7182818285).
Используя определение предела на языке последовательно-
стей, нетрудно доказать, что lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= e. Если в преде-
ле lim
x→−∞
1 +
1
x
x
сделать замену y = −x, то легко получить, что
lim
x→−∞
1 +
1
x
x
= e. Следовательно,
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e. (1.16)
Предел (1.16) называют вторым замечательным пределом.
Пример 1.
lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
= lim
x→∞
1 +
3
x − 2
x − 2
3
3(2x − 1)
x − 2
= e
6
.
Подчеркнём, что во втором замечательном п ределе раскрывается
неопределённость вида 1
∞
.
Число e часто принимается в качестве основания логарифмов.
Логарифм числа x по основанию e называют натуральным лога-
рифмом и обозначают ln x, т.е. ln x = log
e
x.
Опираясь на непрерывность элементарных функций и второй за-
мечательный предел, докажем, что
1. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e, 1, а. lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1;
2. lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a, 2, а. lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1;
3. lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ.

Страницы