Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30 1. Введение в математический анализ
∀x ∈
0;
π
2
. По теореме 3 из подраздела 1.5.5 и из (1.12) следует,
что lim
x→0+0
sin x
x
= 1. Так как
sin x
x
=
sin(−x)
−x
, то и lim
x→0−0
sin x
x
= 1.
Мы доказали, что lim
x→0
sin x
x
= 1.
Пример 1. lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
sin x
x cos x
= lim
x→0
sin x
x
· lim
x→0
1
cos x
= 1.
Пример 2. lim
x→0
sin
2
4x
x
2
= lim
x→0
(4x)
2
(4x)
2
· 4
2
= 16.
Пример 3. lim
x→0
1 − cos x
x
2
= lim
x→0
2 sin
2
x/2
x
2
= lim
x→0
2 sin
2
x/2
4(x/2)
2
=
1
2
.
1.7.2. Второй замечательный предел и его следствия
Докажем, что последовательность {x
n
}, где x
n
=
1 +
1
n
n
,
имеет конечный предел. Пр и этом воспользуемся формулой бинома
Ньютона:
(a + b)
n
= a
n
+ na
n−1
b +
n(n − 1)
2!
a
n−2
b
2
+
+
n(n − 1)(n − 2)
3!
a
n−3
b
3
+ ··· +
n(n − 1) . . . [n − (n − 1)]
n!
b
n
.
(1.13)
По формуле (1.13), полагая a = 1, b =
1
n
, находим
x
n
=
1 +
1
n
n
= 1 + n
1
n
+
n(n − 1)
2!
1
n
2
+
n(n − 1)(n − 2)
3!
1
n
3
+
+ ··· +
n(n − 1) . . . [n − (n − 1)]
n!
1
n
n
.
Запишем это выражение в виде:
x
n
= 2 +
1
2!
1 −
1
n
+
1
3!
1 −
1
n
1 −
2
n
+
+ ··· +
1
n!
1 −
1
n
1 −
2
n
···
1 −
n − 1
n
.
(1.14)
Аналогично можно получить
x
n+1
= 2 +
1
2!
1 −
1
n + 1
+
1
3!
1 −
1
n + 1
1 −
2
n + 1
+
+ ··· +
1
(n + 1)!
1 −
1
n + 1
1 −
2
n + 1
···
1 −
n
n + 1
.
(1.15)

Страницы