Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.7. Замечательные пределы 29
3. Все остальные нарушения соотношения (1.9), т.е. когда один
или оба односторонних предела не существуют, один или оба одно-
сторонних предела равны бесконечности, относят к разрывам второ-
го рода.
Пример 1. Функция f(x) = arctg
1
x
имеет в точке x
0
= 0 разрыв
первого рода, так как lim
x→x
0
−0
arctg
1
x
= −
π
2
, lim
x→x
0
+0
arctg
1
x
=
π
2
.
Пример 2. Функция f(x) = sin
1
x
имеет в точке x
0
= 0 разрыв
второго рода, так как lim
x→x
0
−0
sin
1
x
и lim
x→x
0
+0
sin
1
x
не существуют.
Пример 3. Функция f (x) = x sin
1
x
имеет в точке x
0
= 0 устрани-
мый разрыв, так как lim
x→x
0
−0
x sin
1
x
= lim
x→x
0
+0
x sin
1
x
= 0, что следует
из неравенства −|x| ≤ x sin
1
x
≤ |x|.
1.7. Замечательные пределы
1.7.1. Первый замечательный предел
Докажем, что lim
x→0
sin x
x
= 1. Это соотношение называют первым
замечательным пределом. Предварительно докажем неравенство
sin x < x < tg x, (1.10)
при 0 < x <
π
2
.
С этой целью в круге радиу-
Рис. 1.3.
сом R рассмотрим треугольни-
ки OAB, OAC и сектор OBA
(рис. 1.3). Пусть S
1
— площадь
треугольника OAB, S
3
— секто-
ра OAB и S
3
— треугольника
OAC. Очевидно, S
1
< S
2
< S
3
.
Если x — радианная мера угла
AOB, то
1
2
R
2
sin x <
1
2
R
2
x <
1
2
R
2
tg x. (1.11)
Отсюда и следует неравенство (3.10). Разделив все части неравенства
(1.11) на sin x > 0 и сократив на
1
2
R
2
, получим 1 <
x
sin x
<
1
cos x
,
или
cos x <
sin x
x
< 1 (1.12)

Страницы