Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.6. Непрерывность функции в точке 27
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию
f(x, y) =
(
xy
x
2
+ y
2
, если (x, y) 6= (0, 0);
0, если (x, y) = (0, 0).
Проверим непрерывность в начале координат. Пусть y = kx. То-
гда при x → 0 и y → 0 lim
x→0
f(x, kx) = lim
x→0
x
2
k
x
2
(1 + k
2
)
=
k
1 + k
2
. Ви-
дим, что предел зависит от способа приближения к началу коорди-
нат. По определению Гейне, предел lim
x→0,y →0
xy
x
2
+ y
2
не существует, а
потому функц ия f(x, y) не является непрерывной в точке (0; 0).
Теорема 4. Пусть f : X → Y, Φ : Y → Z и пусть функция f непре-
рывна в точке x
0
, Φ непрерывна в точке y
0
= f(x
0
). Тогда их супер-
позиция (сложная функция) (Φ◦f) = Φ(f(x)) непрерывна в точке x
0
.
Доказательство. Пусть W (Φ(y)) — произвольная окрестность
точки Φ(y
1
) = Φ(f(x
0
)). По определению непрерывности для неё су-
ществует окрестность U(y
0
) точки y
0
= f(x
0
) такая, что для всех
y ∈ U(y
0
) = U(f(x
0
)) выполнено включение Φ(y) ∈ W (Φ(y
0
)). Далее,
для окрестности U(y
0
) = U(f(x
0
)) существует, в силу непрерывно-
сти функции f, окрестность V (x
0
) точки x
0
такая, что для всех
x ∈ V (x
0
) выполнено включение f (x) ∈ U(y
0
), а следовательно, и
включение Φ(f(x)) ∈ W (Φ(f(x
0
))), что и означает непрерывность
сложной функции.
Из теоремы 4 следует, что lim
x→x
0
Φ[f(x)] = Φ[ lim
x→x
0
f(x)].
Отметим без доказательства некоторые свойства непрерывных
функций.
Теорема 5. Все элементарные функции (см. п. 1.3.3) веществен-
ного пер еменного непрерывны в области определения.
Теорема 6. Пусть с калярная функция f скалярного переменного
задана на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B, A 6= B. Если функция
f непрерывна на [a, b], то для всякого числа C, лежащего между A
и B, существует точка c ∈ [a, b] такая, что f(c) = C.
Теорема 6 легко обобщается и для функций f : X ⊆ R
n
→ Y ⊂ R.
Теорема 7. Если функция f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R непрерывна
в замкнутой области X и в точках x
1
, x
2
∈ X принимает значения
f(x
1
) = A, f(x
2
) = B, A 6= B, то для всякого C, заключённого между
A и B, существует точка x
3
∈ X такая, что f(x
3
) = C.
Теорема 8. (Первая теорема Вейерш трасса.) Всякая непрерыв-
ная на замкнутом ограниченном в R
n
множестве X функция
f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R ограничена на этом множестве.

Страницы