Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28 1. Введение в математический анализ
Теорема 9. (Вторая теорема Вейерштрасса.) Всякая непре-
рывная на замкнутом ограниченном множестве в R
n
функция
f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R принимает на нём наибольшее и наименьшее
значения.
Замечание. Для непрерывных функций имеет место соотношение
lim
x→x
0
f(x) = f( lim
x→x
0
x), означающее, что в этом случае операции f и
предельного перехода перестановочны. Это свойство часто исполь-
зуется при отыскании пределов.
Пример 3. Найти lim
x→1
log
a
2 −
1
x
2
. Так как функция log
a
x
непрерывна, то lim
x→1
log
a
2 −
1
x
2
= log
a
lim
x→1
1 −
1
x
2
= log
a
1 = 0.
1.6.2. Классификация точек разрыва
Определение 1. Точка x
0
называется точкой разрыва функции
f(x), если в этой точке функция f(x) не является непрерывной.
Определение 2. Точка x
0
называется изолированной точкой раз-
рыва функции f : X → Y , если существует окрестность точки x
0
, в
которой нет других точек разрыва функции f.
В общем случае точки разрыва могут заполнять некоторую по-
верхность или кривую. Например, у функции f(x, y) =
1
x − y
точ-
ками разрыва являются точки прямой x = y. Мы будем изучать
лишь изолированные точки разрыва для f : X ⊂ R → Y ⊂ R. Их
классификация основывается на нарушении равенства
lim
x→x
0
−0
f(x) = lim
x→x
0
+0
f(x) = f(x
0
), (1.9)
а также на изучении случаев, когда один или несколько элементов
этого равенства не существуют. Возможны следующие случаи.
1. Оба односторонних предела lim
x→x
0
−0
f(x) и lim
x→x
0
+0
f(x) суще-
ствуют, конечны и равны между собой, но либо функция не опре-
делена в точке x
0
, либо f(x
0
) не равна общему значению одно-
сторонних пределов, т.е. lim
x→x
0
−0
f(x) = lim
x→x
0
+0
f(x) 6= f(x
0
). Такой
разрыв называется устранимым, так как его можно “устранить”,
доопределив или переопределив функцию f в точке x
0
, положив
lim
x→x
0
−0
f(x) = lim
x→x
0
+0
f(x) = f(x
0
).
2. Оба односторонних предела существуют, конечны, но не рав-
ны между собой. lim
x→x
0
−0
f(x) 6= lim
x→x
0
+0
f(x). Такой разрыв называют
разрывом первого рода или разрывом типа “скачок”.

Страницы