Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26 1. Введение в математический анализ
точки f(x
0
) существует окрестность V (x
0
) точки x
0
такая, что для
всех x ∈ V (x
0
) имеет место включение f(x) ∈ U(f(x
0
)).
Определение 2 можно записать на языке неравенств.
Определение 3. Функция f называется непрерывной в точке
x
0
, если она определена в этой точке, и для всякого ǫ > 0 суще-
ствует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
|x − x
0
| < δ, выполнено неравенство |f(x) − f(x
0
)| < ǫ.
Величину ∆x = x − x
0
называют приращением аргумента, а
∆f = f(x) − f(x
0
) — приращением функции при переходе из точки
x
0
в точку x.
Определение 3 можно записать на языке приращений.
Определение 4. Функция f называется не прерывной в точке x
0
,
если она определена в этой точке и из условия ∆x → 0 следует, что
∆f → 0.
Используя понятие односторонних пределов для f : X ⊂ R →
→ Y ⊂ R, можно ввести понятия односторонней непрерывности —
непрерывности справа и непрерывности слева в точке x
0
. Предлага-
ем читателю сформулировать эти определения самостоятельно.
Теорема 1. Для того чтобы функция f(x) была непрерывна в точ-
ке x
0
, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева
и справа в этой точке.
Теорема 2. Если функции f и Φ : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R непрерывны
в точке x
0
, то функции f +Φ, f ·Φ и
f
Φ
(Φ(x
0
) 6= 0) также непрерывны
в точке x
0
.
Справедливость теоремы следует из определения непрерывности
и теорем о п ределе суммы, произведения, частного.
Теорема 3. Для того чтобы функция f : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R
k
была непрерывна в точке x
0
(ξ
0
1
, ξ
0
2
, . . . , ξ
0
n
), необходимо и достаточно,
чтобы все её координатные функции были непрерывны в x
0
.
Справедливость теоремы следует из определения непрерывности,
определения предела на языке Гейне и теоремы о пределе векторной
последовательности.
Пример 1. Функция f(x) = a
x
непрерывна на всей числовой оси.
Пусть x
0
— произвольная точка. Тогда f(x
0
) = a
x
0
. Пусть ǫ > 0
произвольно и |a
x
− a
x
0
| < ǫ. Тогда a
x
0
− ǫ < a
x
< a
x
0
+ ǫ, или, что
то же самое,
log
a
(a
x
0
− ǫ) < x < log
a
(a
x
0
+ ǫ) a > 1
log
a
(a
x
0
+ ǫ) < x < log
a
(a
x
0
− ǫ) 0 < a < 1.
Найденные интервалы являются окрестностями точки x
0
. Последнее
и означает непрерывность функции a
x
в точке x
0
при a > 1 и при
0 < a < 1.

Страницы