Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.6. Непрерывность функции в точке 25
Теорема 3. Пусть lim
x→x
0
f(x) = A, lim
x→x
0
Φ(x) = A, и в некоторой
окрестности точки x
0
выполнено неравенство
f(x) ≤ Ψ(x) ≤ Φ(x), (1.7)
тогда lim
x→x
0
Ψ(x) существует и равен A.
Доказательство. Из определения предела и неравенства (1.7)
следует, что ∀ǫ > 0 существует окрестность
˙
V (x
0
) такая, что для
всех точек этой окрестности выполняется неравенство
A − ǫ < f(x) ≤ Ψ(x) ≤ Φ(x) < A + ǫ или A − ǫ < Ψ(x) < A + ǫ,
что и означает существование lim
x→x
0
Ψ(x) и равенство его A.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки x
0
выполнено
неравенство f(x) ≤ b и существует конечный предел lim
x→x
0
f(x) = A,
то A ≤ b. Если существует конечный предел lim
x→x
0
f(x) = A и A > b
(A < c), то ∃U
δ
(x
0
), в которой f(x) > b (f(x) < c).
Доказательство. Из определения предела следует, что
∀ǫ > 0 ∃
˙
V (x
0
) такая, что при ∀x : x ∈
˙
V (x
0
)
выполняется A − ǫ < f(x) < A + ǫ.
Предположим, что A > b, и положим ǫ = A − b > 0. Тогда получим
f(x) > b, что противоречит условию первой части теоремы.
Вторую часть теоремы предлагаем доказать самостоятельно.
Теорема 5. Если в некоторой окрестности точки x
0
выполнено
неравенство
f(x) ≤ Φ(x) (1.8)
и существуют конечные пределы lim
x→x
0
f(x) = A, lim
x→x
0
Φ(x) = B,
то A ≤ B.
Справедливость теоремы 5 следует из теорем 2 и 4.
1.6. Непрерывность функции в точке
1.6.1. Основные понятия и теоремы
Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x
0
,
если f определена в этой точке и lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
). Функция, непре-
рывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной
в этой области.
Вспоминая определение предела функции на языке окрестностей,
определение непрерывности можно дать в следующем виде.
Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке x
0
,
если f определена в этой точке и для всякой окрестности U(f(x
0
))

Страницы