Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Предел функции 23
1.5.4. Односторонние пределы
Пусть f : X ⊆ R → Y ⊆ R — функция одного переменного. В
этом случае можно рассматривать односторонние пределы, исполь-
зуя односторонние окрестности.
Определение 1. Точка A называется пределом функции f при x,
стремящемся к x
0
слева (обозначают A = lim
x→x
0
−0
f(x)), если для
всякой окрестности U(A) точки A существует левосторонняя окрест-
ность V
−
(x
0
) точки x
0
такая, что для всех x ∈ V
−
(x
0
) справедливо
включение f(x) ∈ U(A).
Аналогично определяется предел справа и обозначается
A = lim
x→x
0
+0
f(x).
Определение 2. Точка A называется пределом функции f при
x → +∞ (A = lim
x→+∞
f(x)), если для всякого ǫ > 0 существует N
такое, что при всех x > N выполняется неравенство |f(x) − A| < ǫ.
Определение предела при x → −∞ предлагается сформулировать
самостоятельно.
Между пределами и односторонними пределами существует
связь, выражаемая теоремой.
Теорема 1. Если существует lim
x→x
0
f(x) = A, то существуют
lim
x→x
0
−0
f(x), lim
x→x
0
+0
f(x), также равные A, и наоборот, если суще-
ствуют lim
x→x
0
−0
f(x) и lim
x→x
0
+0
f(x), оба равные A, то существует и
lim
x→x
0
f(x) = A.
Пример 1. Непосредственно из определения функции f(x) =
= arctg x следует, что lim
x→0+0
arctg
1
x
=
π
2
, lim
x→0−0
arctg
1
x
= −
π
2
.
Пример 2. Пусть f(x) =
x − 1, если x ≤ 2,
x + 1, если x > 2.
Тогда
lim
x→2−0
f(x) = lim
x→2−0
(x−1) = 1, lim
x→2+0
f(x) = lim
x→2+0
(x+1) = 3.
1.5.5. Теоремы о пределах
Будем рассматривать лишь скалярнозначные функции.
Теорема 1. Всякая функция, имеющая при x → x
0
конечный пре-
дел, ограничена в некоторой окрестности точки x
0
.
Доказательство. Пусть A = lim
x→x
0
f(x) и A — конечно. Тогда для
всякого ǫ > 0 существует проколотая окрестность
˙
V (x
0
) такая, что

Страницы