Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Предел функции 21
Для числовых последовательностей определение 1 легко пере-
формулировать на языке неравенств.
Определение 2. Число A называют пределом числовой последова-
тельности {y
n
}, если для всякого ǫ > 0 существует номер N = N(ǫ),
такой, что для всех n > N выполнено неравенство |y
n
− A| < ǫ.
Обозначают lim
n→∞
y
n
= A и говорят, что последовательность {y
n
}
сходится к A.
Пример 1. lim
n→∞
n
n + 1
= 1, так как
1 −
n
n + 1
=
1
n + 1
< ǫ при
всех n >
1
ǫ
− 1 для ∀ǫ > 0.
Пример 2. Последовательность 0, 1, 0, 1, . . . предела не имеет, так
как при ǫ <
1
4
нет точки, в ǫ-окрестности которой находились бы
точки 0 и 1 одновременно.
Пример 3. Пусть y
n
=
n + 4
n + 1
,
2n + 6
n + 1
∈ R
2
. Покажем, что
lim
n→∞
y
n
= (1, 2) ∈ R
2
. Действительно,
|y
n
− A| =
s
n + 4
n + 1
− 1
2
+
2n + 6
n + 1
− 2
2
=
5
n + 1
< ǫ
при n >
5
ǫ
− 1.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность
{y
n
} = {y
1
n
, y
2
n
, . . . , y
k
n
}
точек (векторов) пространства R
k
сходилась к точке (векто-
ру) A = (A
1
, A
2
, . . . , A
k
), необходимо и достаточно, чтобы каж-
дая координатная последовательность {y
i
n
} сходилась и при этом
lim
n→∞
y
i
n
= A
i
, i = 1, 2, . . . , k.
Доказательство. Пусть lim
n→∞
y
n
= A. Это значит, что
∀ǫ > 0 ∃N :
(∀n : n > N) → |y
n
− A| =
q
P
k
i=1
(A
i
− y
i
n
)
2
< ǫ
.
Но последнее неравенство возможно лишь тогда, когда |A
i
−y
i
n
| < ǫ
при ∀n > N , т.е. lim
n→∞
y
i
n
= A
i
.
Обратно, пусть lim
n→∞
y
i
n
= A
i
, т.е.
∀ǫ > 0 ∃N
i
: (∀n : n > N
i
) → |y
i
n
− A
i
| =
ǫ
√
k
, (i = 1, 2, . . . , k).
Из чисел N
1
, N
2
, . . . , N
k
выберем наибольшее и обозначим его

Страницы