Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20 1. Введение в математический анализ
т.е.
1
x
− 2
< ε, или 2 − ε <
1
x
< ε + 2. Так как все части неравенства
можно считать положительными, то
1
2 + ε
< x <
1
2 − ε
. Только для
этих значений x выполняется
1
x
− 2
< ε. Но точка x = 1 в найден-
ную окрестность
1
2 + ε
,
1
2 − ε
при малом ε не входит, т.е. данное
множество не является окрестностью точки 1. Таким образом, тре-
буемая окрестность
˙
V (1) не существует, а потому lim
x→1
1
x
не может
равняться двум.
1.5.2. Последовательность и её предел
Последовательностью называется функция натурального аргу-
мента y(n) = y
n
. Если y
n
— числа, то последовательность называ-
ется числовой. Числа y
1
, y
2
, . . . называют членами последовательно-
сти. Если y
n
∈ R
k
, то имеем векторную последовательность. Задание
векторной последовательности y
n
∈ R
k
равносильно заданию k чис-
ловых последовательностей, так как y
n
= {y
1
n
, y
2
n
, . . . , y
k
n
}. Числовые
последовательности {y
i
n
}, i = 1, 2, . . . , k называют координатными
последовательностями.
Примеры последовательностей.
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .. Здесь y
n
=
1
n
— общий член последовательно-
сти.
Последовательность 0, 1, 0, 1, . . . можно задать формулами
y
n
=
1 при чётном n,
0 при нечётном n
y
n
=
1 + (−1)
n
2
.
Кратко последовательность y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . . будем записывать {y
n
}.
Сформулируем определение предела последовательности. По-
скольку множество N натуральных чисел имеет единственную пре-
дельную точку +∞, то для функции y(n) имеет смысл рассматри-
вать только случай n → +∞. Обычно при этом знак “+” опускают.
Определение 1. Вектор (точка) A ∈ R
k
называется пределом век-
торной последовательности {y
n
}, если для любой окрестности U
ǫ
(A)
существует окрестность V
N
(+∞), зависящая от выбора окрестно-
сти U
ǫ
(A), такая, что для всех n ∈ V
N
(+∞) выполняется включение
y
n
∈ U
ǫ
(A).
Заметим, что условие n ∈ V
N
(+∞) означает, что n > N.

Страницы