Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18 1. Введение в математический анализ
Пример 4. Доказать самостоятельно, что lim
x→0
a
x
= 1.
Пример 5. Исходя из определения предела, доказать, что:
а) lim
x→2
1
x
=
1
2
;
б) lim
x→+∞
1
x
= lim
x→−∞
1
x
= lim
x→∞
1
x
= 0; в) lim
x→0+0
1
x
= +∞;
г) lim
x→0−0
1
x
= −∞; д) lim
x→1
1
x
6= 2.
Решение: а) докажем, что lim
x→2
1
x
=
1
2
. По определению пре-
дела мы должны доказать, ч то для любой заданной окрестности
U
ε
1
2
, ε > 0 (рис. 1.1) существует окрестность
˙
V (2) такая, что
если x ∈
˙
V (2), то
1
x
−
1
2
< ε, т.е.
1
x
∈ U
ε
1
2
, что равносильно сле-
дующим двум неравенствам:
−ε <
1
x
−
1
2
< +ε или
Рис. 1.1.
1
2
− ε <
1
x
<
1
2
+ ε.
Так как при достаточно ма-
лом ε все части этого нера-
венства положительны, то
2
1 + 2ε
< x <
2
1 − 2ε
. Очевидно,
2
1 + 2ε
< 2,
2
1 − 2ε
> 2,
следовательно, множество
2
1 + 2ε
,
2
1 − 2ε
является окрестностью точки
x
0
= 2 (несимметричной). Суще-
ствование требуемой окрестности
˙
V (2) доказано. Можно для на-
глядности эту окрестность записать в виде
2 −
4ε
1 + 2ε
, 2 +
4ε
1 − 2ε
и считать
˙
V (2) =
˙
V
δ
1
,δ
2
(2), где δ
1
=
4ε
1 + 2ε
, δ
2
=
4ε
1 − 2ε
;
б) докажем, что lim
x→+∞
1
x
= 0. По определению мы должны до-
казать, что для любой U
ε
(0) окрестности точки y = 0 существует
окрестность V (+∞) элемента +∞ такая, что если x ∈ V (+∞), то

Страницы