Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16 1. Введение в математический анализ
1.5. Предел функции
1.5.1. Понятие предела функции
Приступаем к изучению предела — одного из основных понятий
математического анализа.
Будем считать, что X ⊆ R
n
, Y ⊆ R
m
и f : X → Y , а точку
x
0
= (ξ
1
0
, ξ
2
0
, . . . , ξ
n
0
) полагать предельной для множества X. Предпо-
лагается, что в R
n
и R
m
, а потому и на множествах X и Y , построены
какие-либо системы окрестностей.
Определение 1. Точка A ∈ R
m
называется пределом функции f
при x, стремящемся к x
0
(x → x
0
), если для всякой окрестности
U(A) точки A существует проколотая окрестность
˙
V (x
0
) точки x
0
такая, что для всякой точки x, принадлежащей
˙
V (x
0
), имеет место
включение f(x) ∈ U(A). Пишут A = lim
x→x
0
f(x).
Используя логические символы, определение предела можно за-
писать следующим образом:
A = lim
x→x
0
f(x) : ∀U (A) ∃
˙
V (x
0
) :

∀x, x ∈
˙
V (x
0
)
→ f(x) ∈ U(A)
.
Часто вместо произвольных окрестностей в определении 1 ис-
пользуют симметричные окрестности U
ǫ
(A) при любых ǫ > 0 и
˙
V
δ
(x
0
)
точек A ∈ R
m
и x
0
∈ R
n
.
Определение 2. Точка A ∈ R
m
называется пределом функции
f при x → x
0
, если для всякой симметричной окрестности U
ǫ
(A)
точки A ∈ R
m
, существует проколотая с имметричн ая окрестность
˙
V
δ
(x
0
) точки x
0
такая, что ∀x ∈
˙
V
δ
(x
0
) имеет место f(x) ∈ U
ǫ
(A) или
{f(
˙
V
δ
(x
0
)} ⊆ U
ǫ
(A)}.
Совершенно аналогично определяется понятие предела при
x → ∞. Для этого в определениях 1 и 2 вместо
˙
V (x
0
) и
˙
V
δ
(x
0
) нужно
взять окрестности V (∞) и V
δ
(∞).
Иногда удобнее задавать окрестности точек в виде неравенств.
Определение 3. Точка A называется пределом функции f(x) при
x → x
0
(A = lim
x→x
0
f(x)), если для всякого ǫ > 0 сущ ествует
δ > 0 такое, что из выполнения неравенства 0 < |x − x
0
| < δ
следует справедливость неравенства |f(x) − A| < ǫ. ( lim
x→x
0
f(x) =
= A : ∀ǫ > 0 ∃δ > 0 : (∀x : 0 < |x − x
0
| < δ) → |f(x) − A| < ǫ).
Определение 4. Говорят, что предел функци и f при x → x
0
ра-
вен бесконечности ( lim
x→x
0
f(x) = ∞), если для всякого M > 0 суще-
ствует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству
0 < |x − x
0
| < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M
( lim
x→x
0
f(x) = ∞ : ∀M > 0 ∃ δ > 0 : ∀x ∈
˙
V
δ
(x
0
) → |f(x)| > M ).

Страницы