Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

14 1. Введение в математический анализ
Если у обратной функции независимую переменную обозначать,
как обычно, через x, то получим, что графики взаимно обратных
функций y = f(x) и y = f
−1
(x) в случае f : X ⊂ R → Y ⊂ R
симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных
углов.
Для функции y = x
3
на [2, 4] обратной будет y =
3
√
x на [8, 64].
Отображен ия
10
x
: (−∞, +∞) → (0, +∞) и lg x : (0, +∞) → (−∞, +∞)
являются обратными.
1.4. Системы окрестностей в R и R
n
Предельный пе реход — одна из важнейших операций математи-
ческого анализа. Для изучения предела необходимо ввести понятие
окрестности точки. К его изучению мы и приступаем.
Определение. Окрестностью точки x
0
из R назовём любой интер-
вал (a, b), содержащий эту точку.
Окрестность точки x
0
будем обозначать U(x
0
), т.е.
U(x
0
) = (a, b) = {x ∈ R, a < x < b};
U
δ
1
,δ
2
(x
0
) = (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
2
) = {x ∈ R, x
0
− δ
1
< x < x
0
+ δ
2
}.
Рассмотрим частные виды окрестностей: U
δ
(x
0
) — симметричная
окрестность точки x
0
радиусом δ > 0,
U
δ
(x
0
) = (x
0
− δ, x
0
+ δ) = {x ∈ R, x
0
− δ < x < x
0
+ δ} =
= {x ∈ R, |x − x
0
| < δ};
˙
U(x
0
) — проколотая окрестность — окрестность U(x
0
), из которой
удалена точка x
0
,
˙
U(x
0
) = {x ∈ R, a < x < b, x 6= x
0
};
˙
U
δ
(x
0
) — симметричная проколотая окрестность:
˙
U
δ
(x
0
) = {x ∈ R, 0 < |x −x
0
| < δ}.
Подчеркнём, что в любой окрестности содержится симметричная
окрестность.
Определение. Окрестностью бесконечно удалённой точки ∞ в R
(обозначается U(∞)) называется внешность некоторого отрезка, т.е.
множество точек, не принадлежащих этому отрезку. Симметричной
окрестностью точки ∞ называется внешность си мметричного отно-
сительно нуля отрезка.
Множество
U
M
1
,M
2
(∞) = {(x ∈ R; x < M
1
) ∪ (x ∈ R; x > M
2
)}
является окрестностью точки ∞, а множество
U
M
(∞) = {(x ∈ R; |x| > M )} —
симметричной окрестностью этой точки.

Страницы