Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12 1. Введение в математический анализ
Аналогично определяются монотонно убывающие и строго моно-
тонно убывающие функции.
Например, функция y = x
2
на участке (−∞, 0) строго монотонно
убывает, а на участке (0, +∞) строго монотонно возрастает.
Определение 2. Функция f называется ограниченной, если мно-
жество её значений
˜
Y = {f(x), x ∈ X} ограничено. Если при этом
sup{f(x)} ∈ {f (x)}, то его называют н аибольшим значением функ-
ции f(x) на множестве X. Если inf{f(x)} ⊂ {f(x)}, то его называют
наименьшим значением функции f на множестве X.
Определение 3. Функция f называется чётной, если область её
определения X симметрична относительно точки x = 0 и для всех
x ∈ X выполняется соотношение f(−x) = f(x), и называется нечёт-
ной, если f(−x) = −f (x).
График чётной функции симметричен относительно оси OY , а
нечётной — относительно начала координат. Например, функция
f(x) = sin x нечётна, а функция f(x) = cos x чётна.
Определение 4. Функция f : X ⊆ R → Y ⊆ R называется перио-
дической, если существует число T > 0 такое, что ∀x ∈ X выпол-
няется x + T ∈ X и f(x + T ) = f (x). Наименьшее положительное T ,
удовлетворяющее этому условию, называется наименьшим периодом
функции (или просто периодом).
1.3.3. Основные элементарные функции
Среди отображений f : x ⊆ R → Y ⊆ R выделяют класс основ-
ных элементарных функций, к которым относятся следующие:
1) степенная функция x
λ
, где λ ∈ R. В общем случае её область
определения X = (0, +∞). При некоторых значениях λ область опре-
деления может быть шире, например, при λ = n ∈ N функция x
n
определена на всей числовой оси;
2) показательная функция a
x
, a > 0, a 6= 1. Её область определе-
ния — вся числовая ось . При a > 1 показательная функция строго
монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 строго монотонно убывает;
3) логарифмическая функц ия log
a
x, a > 0, a 6= 1. Область опре-
деления — (0, +∞), область значений — вся числовая ось;
4) тригонометрические функции sin x, cos x, tg x, ctg x. Функции
sin x и cos x определены на всей числовой оси, область их значе-
ний есть отрезок [−1, 1]. Функция tg x определена при x 6=
π
2
+ kπ, а
ctg x — при x 6= kπ, где k — любое целое;
5) обратные тригонометрические функции arcsin x, arccos x,
arctg x, arcctg x. Областью определения функций arcsin x и arccos x
является отрезок [−1, 1], областью значений первой является отрезок

Страницы