Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.3. Функции или отображения 13
h
−
π
2
,
π
2
i
, а второй — [0, π]. Функции arctg x и arcctg x определены на
всей числовой оси. Областью значений первой является промежуток
−
π
2
,
π
2
, а второй — (0, π);
6) часто используются функции sh x =
e
x
− e
−x
2
— гиперболи-
ческий синус, ch x =
e
x
+ e
−x
2
— гиперболический косинус, где e —
некоторое число, с которым мы познакомимся позже. Применяют-
ся также гиперболический тангенс th x =
sh x
ch x
и гиперболический
котангенс cth x =
ch x
sh x
.
Предлагается самостоятельно построить графики основных эле-
ментарных функций, используя учебники для средней школы.
1.3.4. Суперпозиция (композиция)
отображений. Сложная и обратная функции
Определение. Пусть
Φ : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R
m
, Ψ : Y
1
⊆ R
m
→ Z ⊆ R
k
и Y ⊆ Y
1
.
Отображение f : X ⊆ R
n
→ Z ⊆ R
k
называется суперпозицией
(композицией) отображений Ψ и Φ и обозначается f = Ψ◦Φ, если для
всякого x из X имеет место соотношение f (x) = (Ψ ◦Φ)x = Ψ(Φ(x)).
6
- -
x ∈ R
n
Φ
y ∈ R
m
Ψ
z ∈ R
k
f = Ψ ◦ Φ
Переменную y = Φ(x) часто называют промежуточной перемен-
ной или промежуточным аргументом.
Рассматривают суперпозиции трёх, четырёх и более отображе-
ний. Например, функция y = cos
3
(lg x) является суперпозицией
функций y = u
3
, u = cos v, v = lg x.
Пусть задана функция y = f(x), (x, y ∈ R) с областью определе-
ния X и областью изменения {f (x)} = Y , т.е. задано отображение X
на Y . Возьмём каждое y ∈ Y и сопоставим ему то (те) значение x,
для которого y = f(x). Таким образом, мы построили отображение
x = g(y) множества Y на X, называемое обратным по отношению к
исходному. Обозначают g(y) = f
−1
(y). Функция x = f
−1
(y) называ-
ется обратной по отношению к функции y = f(x). Области опреде-
ления и изменения прямой и обратной функций меняются ролями.
Обратная функция может оказаться и многозначной.

Страницы