Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.3. Функции или отображения 11
ся функциями времени (x(t), y(t), z(t)), что можно записать в виде
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
Класс 4. X ⊂ R
n
, Y ⊂ R
m
— вектор-функция векторного аргу-
мента. Полагая x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
), y = (η
1
, η
2
, . . . , η
m
), получим
f(x) = f(ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
) =
η
1
η
2
.
.
.
η
n
=
f
1
(ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
)
f
2
(ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
)
.
.
.
f
m
(ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
)
.
Функции f
1
, f
2
, . . . , f
n
в классах 3 и 4 называются координатными
функциями. Как видим, изучение функций класса 3 и 4 сводится к
изучению скалярных функций одного или многих переменных.
Для полного описания функции y = f(x) надо указать область
определения X, область значений Y и правило f, по которому каж-
дому значению x ∈ X ставится в соответствие значение y ∈ Y . В
случае, если правило f задано формулой, то множества X и Y явно
не указывают, понимая под ними множества, определяемые соот-
ветствующей формулой. При этом иногда множество X называют
естественной областью определения, а Y — естественной областью
значений.
Пример 1. Укажите естественные области определения и значе-
ний функци й: f
1
(x) =
√
1 − x
2
, f
2
(x) =
p
1 − x
2
− y
2
.
Решение. Для функции f
1
(x) областью определения X является
отрезок [−1, 1], а для функции f
2
(x) — круг x
2
+ y
2
≤ 1. Областью
значений Y и для f
1
(x) и для f
2
(x) является отрезок [0, 1].
Множество точек (x, f(x)) называется графиком функции f(x).
В случае скалярной функции одного с калярного аргумента графи-
ком функции f(x) является некоторая кривая, а в случае скалярной
функции двух скалярных аргументов графиком f(x) является неко-
торая поверхность. Например, графиком функции z =
p
1 − x
2
− y
2
является верхняя часть сферы с центром в начале координат ради-
усом r = 1.
Наглядную характеристику функций двух переменных f(x, y)
можно дать с помощью линий уровня, которые описываются урав-
нениями f(x, y) = const.
Охарактеризуем некоторые подклассы функций класса 1, т.е. ска-
лярных функций скалярного аргумента: f : X ⊆ R → Y ⊆ R.
Определение 1. Функция f называется монотонно возрастаю-
щей или неубывающей на множестве X, если для любых двух точек
x
1
и x
2
из X, удовлетворяющих неравенству x
1
< x
2
, выполняется
неравенство f(x
1
) ≤ f(x
2
), и называется строго монотонно возраста-
ющей, если из условия x
1
< x
2
следует f(x
1
) < f(x
2
).

Страницы