Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Числовые множества. Границы числовых множеств 9
большая из нижних границ множества A называется точной нижней
границей и обозначается inf A (инфимум A).
Отметим без доказательства следующее свойство множества ве-
щественных чисел, называемое свойством непрерывности.
Каждое ограниченное сверху (снизу) множество действительных
чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.
Кроме того, множество вещественных чисел обладает свойством
плотности, которое выражается в том, что между любыми двумя
неравными вещественными числами расположены другие веществен-
ные числа, как рациональные, так и нерациональные.
Для обозначения неограниченных числовых множеств множество
вещественных чисел дополним символами +∞, −∞, ∞.
Если множество A не ограничено сверху, то полагают
sup A = +∞, если оно не ограничено снизу, то полагают inf A = −∞.
Символ ∞ используют для обозначения неограниченности множе-
ства A и сверху и снизу. С символами +∞, −∞, ∞ нельзя обра-
щаться, как с числами. Операции над ними определены соотноше-
ниями: α + (±∞) = ±∞, ∀α ∈ R; α − (±∞) = ∓∞, ∀α ∈ R;
(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, α · (±∞) = ±∞, если
α > 0; α·(±∞) = ∓∞, ес ли α < 0; (−∞)·(+∞) = (+∞)·(−∞) = −∞;
(−∞)·(−∞) = (+∞)·(+∞) = +∞; ∞·∞ = ∞.
α
∞
=
α
±∞
= 0, ∀α ∈ R.
Операции (+∞)−(+∞), (+∞)+(−∞), 0·(±∞), 0·∞ не определены.
С помощью символов ±∞ обозначают неограниченные проме-
жутки:
[a, +∞) = {x ∈ R, x ≥ a};
(a, +∞) = {x ∈ R, x > a};
(−∞, a] = {x ∈ R, x ≤ a};
(−∞, a) = {x ∈ R, x < a};
(−∞, +∞) = R.
Заметим, что неравенство |x| > b определяет множество X, явля-
ющееся объединением двух множеств (−∞, −b) ∪ (b, +∞).
Кроме числовых множеств, мы будем в нашем курсе также
использовать множества векторов (точек) из евклидова простран-
ства R
n
, в котором выбрана некоторая декартова система коор-
динат. Элементы из R
n
можно задать в виде упорядоченной со-
вокупности n вещественных чисел (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) и трактовать их
либо как точки x с координатами (α
1
, α
2
, . . . , α
n
), либо как векто-
ры x = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
), причём |x| =
p
(α
1
)
2
+ (α
2
)
2
+ . . . + (α
n
)
2
.
Например, множество {(x, y) ⊂ R
2
, x
2
+ y
2
< r
2
} определяет все
точки, лежащие внутри окружности x
2
+ y
2
= r
2
, а множество
{(x, y, z) ⊂ R
3
, x
2
+ y
2
+ z
2
< r
2
} есть множество точек шара с
центром в начале координат радиусом r, множество {(x, y, z) ⊂ R
3
,

Страницы