Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1. Введение в математический анализ
1.1. Множества. Операции над множествами
Для сокращения записей мы будем часто использовать следую-
щие символы (кванторы).
Квантор общности ∀. Запись ∀x означает: всякий (любой) x.
Квантор существования ∃. Запись ∃x означает: существует x.
Понятие множества является первичным и определению не под-
лежит, его лишь можно пояснить примерами. Множество считается
заданным, если имеется правило, позволяющее установить относи-
тельно любого объекта, является ли он элементом этого множества
или нет. Множество можно задать либо перечислением всех его эле-
ментов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого
множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами.
Множества будем обозначать большими буквами латинского алфа-
вита: A, B, C, D, X, Y и т.д. Множество, не содержащее ни одного эле-
мента, называется пустым и обозначается ⊘. Запись a ∈ A означает,
что элемент a принадлежит множеству A. Если a не принадлежит
A, то пишут a 6∈ A или x
¯
∈A.
Говорят, что множество A входит в B (пишут A ⊂ B), если для
∀a ∈ A → a ∈ B. В этом случае A называют подмножеством B.
Множества A и B называются равными (A = B), если A ⊂ B и
B ⊂ A.
Над множествами определим следующие операции.
Объединением или суммой множеств A и B (обозначают A ∪ B,
A + B) называют множество C, состоящее из всех элементов мно-
жеств A и B, не содержащее никаких других элементов.
Очевидно, A ∪ A = A. Операция объединения коммутативна:
A ∪ B = B ∪ A и ассоциативна (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Пересечением множеств A и B называется множество C (обозна-
чают C = A ∩ B), состоящее лишь из всех тех элементов, которые
принадлежат одновременно и A и B. Операция пересечения мно-
жеств обладает свойствами: A ∩B = B ∩A, (A ∩B) ∩C = A∩(B ∩C),
A ∩A = A. Операции пересечения и объединения множеств связаны
распределительным законом A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Разностью множеств A и B называется множество A \ B, со-
держащее все те и только те элементы множества A, которые не
являются элементами множества B.
Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называ-
ется множество A×B, элементами которого являются всевозможные
пары (a, b), где a ∈ A, b ∈ B. Аналогично можно определить прямое
произведение любого числа множеств.

Страницы