Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 8 стр.

UptoLike

8 1. Введение в математический анализ
Пример. Пусть A = {1, 3, 4, 8}, B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}. Тогда
C = A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, A B = {1, 4, 8}, A \ B = {3}.
1.2. Числовые множества. Границы числовых
множеств
Вещественным (действительным) числом называется любая де-
сятичная дробь. Множество всех вещественных чисел будем обозна-
чать R. Подмножествами R являются:
N множество натуральных чисел 1, 2, . . .;
Z множество всех целых чисел (это десятичные дроби, все де-
сятичные знаки которых равны нулю);
Q множество рациональных чисел множество всех перио-
дических десятичных дробей. Любое рациональное число r можно
представить как отношение двух целых чисел r =
m
n
, n 6= 0.
На множестве вещественных чисел введены операции сложения ,
умножения и деления. Свойства этих операций изучены в средней
школе.
Геометрически вещественные числа можно изображать точками
числовой оси. Доказано, что между множеством всех вещественных
чисел и всеми точками числовой оси можно установить взаимно од-
нозначное соответствие при выбранной едини це масштаба.
Напомним понятие модуля вещественного числа. Модуль веще-
ственного числа a обозначается |a| и определяется равенством
|a| =
(
a, если a > 0,
0, если a = 0,
a, если a < 0.
Модуль числа обладает следующими свойствами: |a| a,
|a + b| |a| + |b|, |ab| = |a||b|,
a
b
=
|a|
|b|
, b 6= 0, |x y| ||x| |y||.
Наиболее часто мы будем использовать следующие типы число-
вых множеств.
Множество X чисел, удовлетворяющих неравенству a x b,
называется отрезком (сегментом), обозначается [a, b], a < x < b ин-
тервалом (a, b), a x < b полуинтервалом [a, b).
Число c R называется верхней границей множества A R, если
для всякого a A выполнено неравенство a c. Множество, имею-
щее верхнюю границу, называется ограниченным сверху.
Аналогично определяется нижняя граница и ограниченность
снизу.
Наименьшая из всех верхних границ множества A называется
точной верхней границей и обозначается s up A (супремум A). Наи-