Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Системы окрестностей в R и R
n
15
В пространстве R
n
можно рассмотреть окрестности точки
x
0
(ξ
0
1
, ξ
0
2
, . . . , ξ
0
n
) двух видов: шары и параллелепипеды. В случае сим-
метричных окрестностей они задаются соотношениями:
U
δ
(x
0
) = {x ∈ R
n
: |x − x
0
| < δ}или
U
δ
(x
0
) =
(
x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
) ∈ R
n
:
n
X
i=1
(ξ
i
− ξ
0
i
)
2
< δ
2
)
,
Π
δ
(x
0
) = {x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
) ∈ R
n
: |ξ
i
− ξ
0
i
| < δ, i =
1, n}.
При n = 2 шаровая окрестность совпадает с открытым кругом, а
параллелепипедальная — с открытым прямоугольником.
Окрестностью бесконечно удалённой точки в R
n
(обозначается
U(∞)) называется внешность шара с центром в начале координат
либо внешность n-мерного куба, симметричного относительно нача-
ла координат.
Записью U
M
(∞) обозначают множество {∀x, x ∈ R
n
: |x| > M} и
называют M -окрестностью точки ∞.
Определение. Точка M
0
называется предельной точкой (точкой
сгущения) множества X, если в любой её окрестности есть хотя бы
одна отличная от M
0
точка множества X.
Определение. Точка M
0
∈ X называется внутренней точкой мно-
жества X, если она входит в множество X вместе с некоторой окрест-
ностью.
Определение. Точка M
0
называется граничной точкой множества
X, если в любой её окрестности есть точки, как принадлежащие X,
так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек
множества X называется его границей. Множество X называется за-
мкнутым, если оно содержит все свои граничные точки, и открытым,
если граничные точки ему не принадлежат.
Например, множество [1, 2] замкнуто, а (1, 2) открыто.
Для введения понятия односторонних пределов используются од-
носторонние окрестности. Они определяются следующим образом:
1) правосторонняя окрестность точки x
0
есть множество
U
+
δ
(x
0
) = {x ∈ R : x
0
< x < x
0
+ δ};
2) левосторонняя окрестность точки x
0
есть множество
U
−
δ
(x
0
) = {x ∈ R : x
0
− δ < x < x
0
};
3) в качестве окрестностей точек +∞ и −∞ принимаются мно-
жества U
M
(+∞) = {x ∈ R : x > M}; U
M
(−∞) = {x ∈ R : x < M}.
Мы построили системы окрестностей в R и R
n
. На множестве X
из R (R
n
) систему окрестностей введём как сужение систем окрест-
ностей в R или R
n
на множество X, т.е. под окрестностью предельной
точки x
0
множества X ⊂ R (или X ⊂ R
n
) будем понимать U (x
0
)∩X,
где U (x
0
) — окрестность точки x
0
в R или R
n
.

Страницы