Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Предел функции 17
Теорема 1. Если функция имеет предел, то этот предел един-
ственный.
Доказательство. Предположим, что при x → x
0
существуют два
предела
lim
x→x
0
f(x) = A
1
, (1.1)
lim
x→x
0
f(x) = A
2
, (1.2)
причём A
1
6= A
2
. По определению (1.1) означает
∀U(A
1
) ∃
˙
V
1
(x
0
) :

∀x : x ∈
˙
V
1
(x
0
)
→ f(x) ∈ U(A
1
)
. (1.3)
Аналогично (1.2) означает
∀U(A
2
) ∃
˙
V
2
(x
0
) :

∀x : x ∈
˙
V
2
(x
0
)
→ f(x) ∈ U(A
2
)
. (1.4)
Так как A
1
6= A
2
, то можно взять окрестности U(A
1
) и U(A
2
) непе-
ресекающимися. Тогда ∀x : x ∈
˙
V
1
(x
0
) ∩
˙
V
2
(x
0
) должно иметь место
(1.3) и (1.4) одновременно, т.е. f(x) ∈ U(A
1
) и f(x) ∈ U (A
2
), что
невозможно.
Пример 1. Докажем, что lim
x→0
sin x = 0. Пусть ǫ > 0 произвольно.
Позже будет доказано, что |sin x| < |x|. Поэтому, чтобы выполня-
лось неравенство |sin x −0| < ǫ, достаточно взять |x| < ǫ, т.е. вы-
брать δ ≤ ǫ. Для любой окрестности U
ǫ
(0) мы нашли окрестность
V
δ
(0) такую, что, если x ∈ V
δ
(0), то f(x) ∈ U
ǫ
(0). По определению 2
lim
x→0
sin x = 0.
Пример 2. Покажем, что lim
x→0
cos x = 1. Имеем:
|1 − cos x| = 2 sin
2
x
2
≤
x
2
2
.
Неравенство |1 − cos x| < ǫ будет заведомо выполнено для всех x,
удовлетворяющих неравенству
x
2
2
< ǫ, т.е. для |x| <
√
2ǫ. Сле-
довательно, ∀ǫ > 0 ∃δ ≤
√
2ǫ так, что при |x − 0| < δ выполнено
|1 − cos x| < ǫ. Это и означает, что lim
x→0
cos x = 1.
Пример 3. Покажем, что lim
x→0
log
a
(1 + x) = 0. Для определённо-
сти будем считать, что a > 1. Из неравенства |log
a
(1 + x) − 0| < ǫ
тогда следует a
−ǫ
< 1 + x < a
ǫ
или a
−ǫ
− 1 < x < a
ǫ
− 1. Послед -
нее неравенство определяет окрестность V (0), так как a
−ǫ
−1 < 0, а
a
ǫ
−1 > 0. Таким образом, для всякого x из (a
−ǫ
−1, a
ǫ
−1) справедли-
во неравенство |log
a
(1 + x)| < ǫ, означающее, что lim
x→0
log
a
(1 + x) = 0.

Страницы