Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Предел функции 19
1
x
− 0
< ε или
1
x
< ε. Так как x → +∞, то можно считать, что
x > 0, поэтому знак модуля можно опустить и записать
1
x
< ε или
x >
1
ε
= M. Множество x > M есть V
M
(+∞), согласно определению
окрестности элемента +∞. Существование окрестности V (+∞), удо-
влетворяющей соответствующим условиям, доказано. Те м самым до-
казано, что lim
x→+∞
1
x
= 0.
Доказательство равенств lim
x→−∞
1
x
= 0 и lim
x→∞
1
x
= 0 предоставля-
ем читателю. Подч еркнём , что равенство lim
x→∞
1
x
= 0 равносильно
двум равенствам: lim
x→−∞
1
x
= 0 и lim
x→+∞
1
x
= 0;
в) докажем равенство
Рис. 1.2.
lim
x→0+0
1
x
= +∞. Нужно дока-
зать, что для любой окрестности
U
M
(+∞) (рис. 1.2) существует
правая полуокрестность V
+
δ
(0)
(0 < x < δ) такая, что если
x ∈ V
+
δ
(0), то
1
x
∈ U
M
(+∞). По-
следнее означает, что
1
x
> M. Так
как x > 0, M > 0, то 0 < x <
1
M
.
Если положить δ =
1
M
, то требу-
емая окрестность V
+
δ
(0) найдена
и равенство lim
x→0+0
1
x
= 0 доказано. Аналогично можно доказать, что
lim
x→0−0
1
x
= −∞ (предлагаем проделать это самостоятельно);
г) докажем, что lim
x→1
1
x
6= 2. Предположим противное, т.е. что
lim
x→1
1
x
равен двум. Это означало бы: для любой окрестности U
ε
(2)
существует окрестность
˙
V (1) такая, что если x ∈
˙
V (1), то
1
x
∈ U
ε
(2),

Страницы