Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22 1. Введение в математический анализ
через N. Тогда при n > N неравенства |y
i
n
− A
i
| <
ǫ
√
k
будут выпол-
няться при всех значениях i од новременно. Поэтому при n > N по-
лучим |y
n
− A| =
q
P
k
i=1
(A
i
− y
i
n
)
2
< ǫ, следовательно, lim
n→∞
y
n
= A.
Теорема доказана.
Теорема 2. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) и огра-
ниченная сверху (снизу) числовая последовательность имеет предел.
Доказательство. Пусть последовательность {y
n
} монотонно воз-
растает и ограничена сверху. Тогда по свойству непрерывности мно-
жества вещественных чисел множество {y
n
} имеет конечную точную
верхнюю границу A. Если ǫ > 0 произвольно, то найдётся член после-
довательности y
N
такой, что y
N
> A − ǫ. Если это было бы не так,
то число A не было бы точной верхней границей множества {y
n
}.
Так как последовательность {y
n
} монотонно возрастает, то при всех
n > N будем иметь A − ǫ < y
n
< A < A + ǫ. Следовательно, lim
n→∞
y
n
существует и равен A.
Теорема 3. Если даны три числовых последовательности u
n
, v
n
,
w
n
, удовлетворяющие условию u
n
≤ w
n
≤ v
n
и lim
n→∞
u
n
= lim
n→∞
v
n
=A,
то и lim
n→∞
w
n
= A.
1.5.3. Определение предела функции на языке
последовательностей
Основываясь на понятии предела последовательностей, можно
сформулировать определение предела функции на языке последова-
тельностей (определение Гейне), в отличие от определения на языке
окрестностей (определение Коши), данного ранее.
Определение 7. Говорят, что A = lim
x→x
0
f(x), если для всякой после-
довательности точек {x
n
} (x
n
6= x
0
) из области определения функ-
ции, сходящейся к x
0
( lim
n→∞
x
n
= x
0
), последовательность {f(x
n
)}
значений функции имеет пределом точку A.
Можно доказать, что определения предела по Коши и Гейне эк-
вивалентны.
Пример 1. Докажем, что lim
x→+∞
sin x не существует. Выберем две
последовательности x
n
= nπ и y
n
=
π
2
+ 2nπ, lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= +∞,
но lim
n→∞
sin nπ = 0 6= lim
n→∞
sin
π
2
+ 2nπ
= 1. Таким образом, по
определению Гейне предел lim
x→+∞
sin x не существует.

Страницы