Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24 1. Введение в математический анализ
при ∀x ∈
˙
V (x
0
), выполняется неравенство |f(x) − A| < ǫ, или, что то
же самое, A − ǫ < f (x) < A + ǫ. Это и означает, что f (x) ограничена
в
˙
V (x
0
).
Теорема 2. Пусть f, Φ : X ⊆ R
n
→ Y ⊆ R и lim
x→x
0
f(x) = A,
lim
x→x
0
Φ(x) = B (A и B — конечны). Тогда существуют
lim
x→x
0
(f(x) + Φ(x)), lim
x→x
0
f(x) · Φ(x), lim
x→x
0
f(x)
Φ(x)
, Φ(x) 6= 0
и при этом а) lim
x→x
0
(f(x) + Φ(x)) = A + B, б) lim
x→x
0
f(x) ·Φ(x) = A ·B,
в) lim
x→x
0
f(x)
Φ(x)
=
A
B
, B 6= 0.
Докажем лишь а). Так как lim
x→x
0
f(x) = A, то для
∀ǫ > 0 ∃
˙
V
1
(x
0
) :
∀x : x ∈
˙
V
1
(x
0
)
→ |f (x) − A| <
ǫ
2
. (1.5)
Так как lim
x→x
0
Φ(x) = B, то
∀ǫ > 0 ∃
˙
V
2
(x
0
) :
∀x : x ∈
˙
V
2
(x
0
)
→ |Φ(x) − B| <
ǫ
2
. (1.6)
Положим
˙
V (x
0
) =
˙
V
1
(x
0
) ∩
˙
V
2
(x
0
). Тогда для всякого x ∈
˙
V (x
0
) од-
новременно выполнены неравенства (1.5) и (1.6) и, следовательно,
неравенство |f(x) + Φ(x) − (A + B)| = |f(x) − A + Φ(x) − B| ≤
≤ |f (x) −A|+ |Φ(x) −B| <
ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ, что и доказывает утверждение
а) теоремы.
Теорему 2 можно использовать при практическом вычислении
пределов.
Пример 1. Найдём lim
n→∞
n
2
+ 3n + 2
1 − 2n − 2n
2
. Поделив числитель и зна-
менатель на n
2
, получим lim
n→∞
1 + 3/n + 2/n
2
1/n
2
− 2/n − 2
= −
1
2
, так как
lim
n→∞
1 +
3
n
+
2
n
2
= lim
n→∞
1 + lim
n→∞
3
n
+ lim
n→∞
2
n
2
= 1 по теореме о
пределе суммы. По этой же теореме lim
n→∞
1
n
2
−
2
n
− 2
= −2 6= 0.
По теореме о пределе частного д анный предел равен −
1
2
.
Пример 2. lim
x→1
x
3
− 1
x
2
− 1
= lim
x→1
(x − 1)(x
2
+ x + 1)
(x − 1)(x + 1)
= (при x 6= 1) =
= lim
x→1
x
2
+ x + 1
x + 1
=
3
2
.

Страницы