Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 33
1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции
1.8.1. Теоремы о свойствах бесконечно малых функций
В пределах этого подраздела, если не оговорено противное, будем
все рассматриваемые функции считать скалярнозначными.
Определение 1. Функция α(x) называется бесконечно малой в точ-
ке x
0
(при x → x
0
), если lim
x→x
0
α(x) = 0.
Определение 2. Функция y называется бесконечно большой в точ-
ке x
0
(при x → x
0
), если lim
x→x
0
y(x) = ∞, −∞, +∞.
Пример 1. Функция α(x) = sin x бесконечно малая при x
0
= kπ,
а функция α(x) = cos x бесконечно малая при x
1
=
π
2
+ kπ.
Пример 2. Функция y(x) = e
x
бесконечно большая в +∞ и бес-
конечно малая в −∞; функция y(x) =
x − 3
x − 4
бесконечно малая при
x
0
= 3 и бесконечно большая при x
0
= 4.
Отметим некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно
больших функций.
Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций в
точке x
0
есть функция бесконечно малая в x
0
.
Справедливость теоремы следует из теоремы о пределе суммы
функций.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции α(x) в x
0
на функцию f(x), ограниченную в окрестности x
0
, есть бесконечно
малая функция в x
0
.
Доказательство. Так как lim
x→x
0
α(x) = 0 и существует окрест-
ность U (x
0
) такая, что для всех x ∈ U (x
0
) выполнено неравенство
|f(x)| < M (M 6= ∞), то для всех x ∈ U(x
0
) сп раведливо нера-
венство −|α(x)|M ≤ α(x)f(x) ≤ |α(x)|M. Так как lim
x→x
0
|α(x)|M = 0,
lim
x→x
0
(−|α(x)|M) = 0, то и lim
x→x
0
α(x) · f (x) = 0 по теореме 3 из подраз-
дела 1.5.5, т.е. функция α · f бесконечно малая в точке x
0
.
Пример 3. Функция β(x) = x sin
1
x
является бесконечно ма-
лой при x = 0, так как функция α(x) = x бесконечно малая, а
f(x) = sin
1
x
ограничена в окрестности точки x
0
= 0.

Страницы