Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

44 2. Дифференциальное исчисление
то композиция отображений f ◦ Φ : X ⊆ R
n
→ Z ⊆ R
m
дифференци-
руема в точке x и (f ◦ Φ)
′
= (f
′
◦ Φ)Φ
′
или, что то же самое,
[f[Φ(x)]]
′
= f
′
[Φ(x)] · Φ
′
(x), (2.9)
т.е. производная матрица суперпозиции отображений равна произ-
ведению производных матриц исходных функций, вычисленных в
соответствующих точках.
Замечание. Если обозначить матрицы f
′
= A, Φ
′
= B, (f ◦ Φ)
′
=
= C, то C = A · B.
Теорему 3 примем также без доказательства.
Рассмотрим частные случаи формулы (2.9), наиболее часто
встречающиеся на практике.
Случай 1. Если n = k = m = 1, то соотношение (2.9) является
правилом дифференцирования сложной функции одного аргумента,
известного из курса средней школы.
Например, (cos
3
x)
′
= 3 cos
2
x(−sin x),
e
sin
2
5x
′
= e
sin
2
5x
2 sin 5x cos 5x · 5, (tg ln x)
′
=
1
cos
2
ln x
·
1
x
.
Часто встречаются степенно-показательные функции, т.е. функ-
ции вида f(x) = u(x)
v ( x)
. Для отыскания производных от них
рекомендуется воспользоваться либо основным логарифмическим
тождеством f (x) = e
v ( x) ln u(x)
, либо предварительно функцию про-
логарифмировать. Например, [(sin x)
cos x
]
′
=
e
cos x ln sin x
′
=
= e
cos x ln sin x
−sin x ln sin x + cos x
1
sin x
cos x
.
Случай 2. Пусть n = 1, k про-
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z~
-
x ⊆ R
Φ
y ⊆ R
k
f ◦ Φ f
z ⊆ R
Рис. 2.1.
извольно, m = 1. Для суперпози-
ции отображений, приведённой
на схеме (рис. 2.1), имеем, что
f(y
1
, y
2
, . . . , y
k
) есть скалярная
функция k переменных.
Φ = (y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
k
(x))
T
, Φ —
вектор-функция одного скаляр-
ного аргумента. (f ◦ Φ)(x) =
= f (y
1
(x), y
2
(x), . . . , y
k
(x)) —
скалярная функция скалярного
аргумента. В нашем случае
A = f
′
(y
1
, y
2
, . . . , y
k
) =
∂f
∂y
1
,
∂f
∂y
2
, . . . ,
∂f
∂y
k
,
B = Φ
′
(x) =
dy
1
dx
,
dy
2
dx
, . . . ,
dy
k
dx
T

Страницы