Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.4. Производная по направлению 47
(x
0
, y
0
, z
0
), а M — (x, y, z). Так как M
0
Mka
0
, то M
0
M = ta
0
, по-
этому x = x
0
+ t cos α, y = y
0
+ t cos β, z = z
0
+ t cos γ, |M
0
M| = |t|.
Тогда
∂f
∂a
= lim
t→0
f(x, y, z) − f(x
0
, y
0
, z
0
)
±|t|
=
= lim
t→0
f(x
0
+ t cos α, y
0
+ t cos β, z
0
+ t cos γ) − f(x
0
, y
0
, z
0
)
t
=
df
dt
.
По формуле (2.10) находим
∂f
∂a
(M
0
) =
∂f
∂x
(M
0
)
dx
dt
+
∂f
∂y
(M
0
)
dy
dt
+
∂f
∂z
(M
0
)
dz
dt
.
Так как
dx
dt
= cos α,
dy
dt
= cos β,
dz
dt
= cos γ, то
∂f
∂a
(M
0
) =
∂f
∂x
(M
0
) cos α +
∂f
∂y
(M
0
) cos β +
∂f
∂z
(M
0
) cos γ. (2.12)
Введём вектор grad f =
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
, называемый градиентом
функции f в точке M
0
. Тогда формулу (2.12) можно записать в виде
∂f
∂a
= (a
0
, grad f). (2.13)
Заметим, что
∂f
∂a
определяет скорость изменения функции f(x, y, z)
в направлении вектора a. Из формулы (2.13) следует, что величина
∂f
∂a
наибольшая, если a k grad f.
Пример. Найдите
∂f
∂a
в точке M
0
(1, −1, 2), если
f(x, y, z) = x
2
− 3x + y
2
− 2y + z
2
+ z и a(2, 2, 1).
Находим орт вектора a: a
0
=
a
|a|
=
a
√
4 + 4 + 1
=
a
3
=
2
3
;
2
3
;
1
3
,
следовательно,
cos α =
2
3
, cos β =
2
3
, cos γ =
1
3
,
∂f
∂x
= 2x − 3,
∂f
∂y
= 2y −2,
∂f
∂z
= 2z + 1,
∂f
∂x
(M
0
) = −1,
∂f
∂y
(M
0
) = −4,
∂f
∂z
(M
0
) = 5.
По формуле (2.12) получаем
∂f
∂a
(M
0
) = −1 ·
2
3
− 4 ·
2
3
+ 5 ·
1
3
= −
5
3
.

Страницы